文档文本内容
1
相似三角形与翻折问题 题集【D】其他
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，点
为斜边
的中点，连接
，将
沿
翻折，使点
落在点
处，点
为直角边
上一点，连接
，将
沿
翻折，使点
与点
重合，求折痕
的长．
【答案】
．
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 如图，四边形
的对角线
，
相交于点
，
，
，
，
，
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
图
填空：
与
的数量关系为 ．
求
的值．
将
沿
翻折，得到
（如图），连接
，与
相交于点
．若
，求
的长．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
如图中，
图
在
中，
∵
，
又∵
，
∴
，
故答案为
．
∵
，
，
∴
．
3
方法一：
方法二：
方法三：
（2 ）
如图中，作
交
于
．
∴
，
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，设
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
（负根已经舍弃），
∴
．
在
上截取
，则
，连
、
，
易证：四边形
为平行四边形，进而证明：
，
设
，
，则由
，
∴
，∴
，∴
．
故答案为：
．
如图所示，作
交
于点
．
图
∴
≌
，
∴
，
，
，
，
∴
，
4
方法四：
方法五：
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，∴
，
∴
，即
，
∴
．
如图所示，作
交
于点
．
图
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，
∴
，即
，
∴
．
如图所示，过点
作
的平行线交
、
于点
、
，连接
．
图
∴
≌
，
∴
，
，
5
方法六：
方法七：
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
如图所示，作
交
于点
，延长
、
交于点
．
图
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
．
如图所示，取
的中点
，连接
．
图
∴
是
的中位线，
6
方法八：
方法一：
（3 ）
∴
，
，
设
，
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图所示，作
交
延长线于点
．
图
设
，则
，设
，则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图中，作
交
于
．
图
由（）可知，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
7
方法二：
方法三：
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
∴
．
由翻折可得：
，
∴
，∴
，
由（）中相似：
得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：．
如图所示，作
交
于点
．
图
由（）【法】知
，
∴
，
∵
，
∴
，
由翻折知，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，
∴
，
，
∴
．
8
方法四：
方法五：
如图所示，作
交
于点
，延长
、
交于点
．
图
由（）【法】知
，
，
∴
，
∴
，
由翻折知，
，
∴
，
∴
，
设
，
，
∴
，
，
∴
．
如图所示，作
交
延长线于点
，延长
、
交于点
．
图
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
，则
，设
，则
，
，
则
，
∴
，
∴
，
∴
，
9
【标注】
，
由翻折知，
，
∴
∴
，
设
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，翻折
，使点
落在斜边
上某一点
处，折痕为
（点
、
分别在边
、
上）．
若
与
相似，且当
时，求
的长．
若
与
相似，且当
，
时，求
的长．
当点
是
的中点时，
与
相似吗？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
相似，证明见解析．
若
与
相似，且当
时，
为等腰直角三角形，如图所示，
此时
为
边中点，
10
（2 ）
（3 ）
．
若
与
相似，且当
，
时，有两种情况：
①若
，如所示．
∵
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
∴
，即此时
为
边上的高．
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
；
②若
，如图所示．
∵
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
又∵
，
∴
，
∴
．
同理可得：
，
，
∴此时
．
综上所述，当
，
时，
的长为
或
．
当点
是
的中点时，
与
相似，理由如下：
如图所示，连接
，与
交于点
，
11
【标注】
∵
是
的中线，
∴
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4. 如图，已知一个直角三角形纸片
，其中
，
，
，
、
分别是
、
边上点，连接
．
图①，若将纸片
的一角沿
折叠，折叠后点
落在
边上的点
处，且使
，求
的长．
图
如图②，若将纸片
的一角沿
折叠，折叠后点
落在
边上的点
处，且使
．
图
四边形
12
1
2
（3 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
试判断四边形
的形状，并证明你的结论．
求
的长．
如图③，若
的延长线与
的延长线交于点
，
，
，求
的值．
图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
．
四边形
为菱形．
．
．
如图①，
∵
的一角沿
折叠，折叠后点
落在
边上的点
处，
∴
，
≌
，
∴
≌
，
∵
，
∴
，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
四边形
为菱形．理由如下：
如图②，∵
的一角沿
折叠，折叠后点
落在
边上的点
处，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
四边形
13
2
（3 ）
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为菱形．
连结
交
于点
，如图②，
图
设
，则
，
，
∵四边形
为菱形，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
，
在
中，
，
∵
，
∴
．
如图③，作
于
，
图
∵
，
∴
，
∴
，即
，
菱形
14
【标注】
∴
，
设
，
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，解得
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
5.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
，把矩形
沿对角线
折叠，使点
与点
重
合，
交
于点
，过点
作
于点
，交
于点
，则
的长
．
【答案】
设
，
在
中，
，
，
则
，
解得：
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
15
【标注】
即
，
解得：
，
所以
．
【知识点】勾股定理与几何问题
6.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
，点
、
分别在边
和
上，沿
折叠四边形
，使点
、
分别落在
、
处，得四边形
，其中点
在
上，过点
作
于点
，连接
，给出下列结论：
①
；
②
；
③
的值为定值；
④当
时，
，
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）
【答案】①②③
由折叠可知
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故①正确；
∵
，
∴
，
由折叠的性质可得
，
易证：
，
故②正确；
16
【标注】
由②可知
，
∵
，
，
∴
，为定值，故③正确；
∵
，
∴
，
∴
，
若
，
则
，
设
，则
，
，
在
中，由勾股定理可得
，解得
，
∴
，故④不正确．
【知识点】翻折问题与勾股定理
