文档文本内容
1
相似常见模型之三垂直与三等角 题集【A】
1. 一线三垂直相似模型
1.
方法一：
方法二：
【解析】
如图，直线
，正方形
的三个顶点
、
、
分别在、、上，与之间的距离
是，与之间的距离是，则正方形
的面积为 ．
【答案】
设
与交于点
，过点
、
向作垂线，分别交于点
、
，
易知
，
又∵
，
，
∴
，
．
∴
．
过点
作
，过点
作
，
正方形
2
【标注】
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】一线三等角相似
2.
【解析】
如图，
，
，
，
．用一个三角尺进行如下操作：将直角顶点
在
线段
上滑动，一直角边始终经过点
，另一直角边与
相交于点
，若
，求
的长．
【答案】或．
，
，
，
，
3
【标注】
，
，
，
，
，
，
解得
或．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在四边形
中，
，
，点
在
上，
．
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
4
4.
【解析】
【标注】
在一块长为、宽为
的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶
点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 ．
【答案】
根据题意，截出的三角形是相似三角形，
设
，则
边为
，
∵
，
∴
，
即
，
整理得
，
解得
,
（舍去），
因此较短直角边的长为．
故答案为：．
【知识点】一线三等角相似
5.
【解析】
已知：如图，在正方形
中，
是
上的点，且
，
，
是
的中点．求
证：（1）
；（2）
．
【答案】证明见解析．
∵已知正方形
中，
是
上的点，
，
，
是
的中点，
∴
，
5
【标注】
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
则
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，在梯形
中，已知
，
，
，
，
，在线段
上任取一点
，连接
，做
，交直线
于点
．
若点
与
重合，求
的长．
若点
在线段
上，且
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
当
与
重合时，
∵
，
6
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
．
过点
作
于
，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
，
∵点
在线段
上，
，
∴
（舍去），即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
7.
7
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，以
为边作
，
，
，延长
至点
，使
，连接
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 一线三等角相似模型
（1 ）
（2 ）
1. 已知：如图，在
中，
，
，
、
分别为
、
边上一点，
．
求证：
．
若
，求
的长．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
由（）知
，
．
∵
，
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，点
、
分别是
、
边上的点，且
．
求证：
．
若
，
，当
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
9
（2 ）
【标注】
∴
，
即
．
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：如图，在菱形
中，
为
边上一点，
．
求证：
．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵四边形
是菱形，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵四边形
是菱形，
，
10
【标注】
∴
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，已知：在
中，
，
，
是边
的中点，
、
分别是
边
、
上的一点，
，
与
的延长线相交于点
，
在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
联结
，当
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
（一线三等角型）、
（共边斜
型）．
由
可得
即
，∴
，进而
，
在
中，由勾股定理可得
，
或者由中点型一线三等角可得
，对可解
化斜为直
（过
作
于
）计算出
，∴
，
即
，∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5. 如图，
和
是两个全等的等腰直角三角形，
，
的顶
点
与
的斜边
的中点重合．将
绕点
旋转到如图，线段
与线段
相交于点
，线段
与线段
的延长线相交于点
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
图
求证：
．
已知
，
，求
、
两点间的距离（用含的代数式表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
和
是两个全等的等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
12
【标注】
在
中，
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
阅读理解：
如图，若在四边形
的边
上任取一点
（点
与点
，
不重合），分别连结
，
，
可以把四边形
分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的强相似
点．
解决问题：
图
如图，若
，试判断点
是否是四边形
的边
上的相似
点，并说明理由．
如图，在矩形
中，
，
，且
，
，
，
四点均在正方形网格（网格
中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形
的边
上的一个强相似点
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
点
是四边形
的边
上的相似点．
画图见解析．
点
是四边形
的边
上的相似点．
理由：∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
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（2 ）
【标注】
∵
，
∴
．
∴点
是四边形
的
边上的相似点．
画图如下：
图
图
【知识点】与三角形有关的新定义
