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1
相似常见模型之三垂直与三等角 题集【B】
1. 一线三垂直相似模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线
的距离为），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．
如图，已知等腰直角三角形纸片
，
，
，同学们通过构造直
角三角形的办法求出三角形三边的长，则
．
图1
如图，已知直角三角形纸片
，
，
，求出
的长．
图2
在（）的条件下，若横线纸上过点
的横线与
相交于点
，直接写出
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
分别过点
、
作横线的垂线，交横线于点
、
，
2
（2 ）
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，∴
．
过点
作横线的垂线，交，于点
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
3
（3 ）
【标注】
∵
，
，
∴
，
，
根据勾股定理得
，
，
．
根据
可得：
，
即
解得：
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
2. 如图①所示，矩形
一条边
，将矩形
折叠，使得顶点
落在
边上的点
处，折痕与边
交于点
，连接
、
、
，
的面积是
的面积的倍．
求证：
．
求边
的长．
连接
，动点
在线段
上（点
与点
、
不重合），动点
在线段
的延长线上，
且
，连接
交
于点
，作
于点
．
按上面的叙述补全图②．
4
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
【解析】
当点
、
在移动过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不
变，求出线段
的长度．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
证明见解析．
．
画图见解析．
不变，
．
∵四边形
为矩形，
∴
，
，
，
由折叠可得：
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
与
面积比为
，
∴
，
∴
．
设
，则
，
，
∴
，
，
∴
．
作
，交
于点
，如图：
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【标注】
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）知，
，
，
∴
，
∴
，
故
的长度不变．
【知识点】中位线定理及其应用
3. 已知：如图，
的顶点
在正方形
的边
上，
，
经过点
，
与
交于点
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
在不添加字母和辅助线的情况下，图中
；
若
为
的中点，连接
，求证：
；
若
，试探究线段
与线段
的数量关系，并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析
当
时，有
，证明见解析
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
故答案为：
．
证明：
延长
交
的延长线于点
．
∵
为
中点，
∴
.
∵四边形
是正方形，
∴
.
∵
，
∴
≌
.
∴
，
.
7
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
∴
．
当
时，有
．
证明：∵四边形
是正方形，
∴
.
.
∴
.
∵
.
∴
.
∴
．
∴
，
∴
．
∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
∴
.
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
4. 正方形
边长为，
、
分别是
、
上的两个动点，当
点在
上运动时，保持
和
垂直．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
证明：
．
设
，当为何值时
？
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
在正方形
中，
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴要使
，必须有
，
由（）知，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 一线三等角相似模型
1. 阅读理解：
如图，在四边形
的边
上任取一点
（点
不与点
、点
重合），分别连接
，
，
可以把四边形
分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的强相似
点．解决问题：
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，
，试判断点
是否是四边形
的边
上的相似
点，并说明理由．
如图，在矩形
中，
，
，且
，
，
，
四点均在正方形网格（网格
中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形
的边
上的一个强相似点
．
图
如图，将矩形
沿
折叠，使点
落在
边上的点
处．若点
恰好是四边形
的边
上的一个强相似点，试探究
和
的数量关系．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
是四边形
的边
上的相似点，理由见解析．
画图见解析．
．
点
是四边形
的边
上的相似点．
理由：∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
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（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
∴点
是四边形
的
边上的相似点．
作图如下：
图
图
∵点
是四边形
的边
上的一个强相似点，
∴
，
∴
．
由折叠可知：
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
2. 如图，在等腰直角三角形
中，
，
，
为射线
上一动点．连
接
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，射线
交射线
于点
.
如图，当
在线段
上时，若
，则
，并证明：
≌
．
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图
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图，若
在
延长线上，请补全图形，并证明：
．
图
若
，请直接写出此时
的长为： ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
证明见解析．
或
图
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由旋转的性质得，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
≌
．
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（2 ）
（3 ）
补全图形如图，
证明：∵
，
，
∴
．
∵
，
又
，
∴
．
在
和
中，
∵
，
，
∴
．
①若
在
的延长线上，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
（舍）．
②若
在线段
上，
∵
，
∴
，
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【标注】
∴
，
即
，
解得
，
，
∴
的长为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板
的一个锐角顶点
放在另一块三角板
斜边
的中点处，并使三角板
绕着点
旋转．
当两块三角板相对位置如图①，即
与
交于点
，
与
交于点
时，求证：
．
当两块三角板相对位置如图②，即
边的延长线与
交于点
，
与
交于点
时，
与
还相似吗．（直接给出结论．不需证明）
在图②中，连结
，试探究
与
是否相似，并说明理由或给出证明．
在图①中，若
改为角
等于
的等腰三角形，那么
只要满足
时，仍有
．
【答案】（1 ）证明见解析．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
（4 ）
相似，证明见解析．
相似，证明见解析．
由等腰直角三角形的性质可知：
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
相似．
理由：由等腰直角三角形的性质可知：
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
如下图：
由（）可知
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
当
时，
，
理由：∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
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【标注】
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】一线三等角相似
