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1
抛物线与存在性（8）定角与等角【题集A】
x
–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
（1 ）
（2 ）
x
–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
备用图
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
平面直角坐标系
中，抛物线
与轴交于点
、
，与轴的正半轴交于
点
，点
的坐标为
，
．
求此抛物线的解析式．
若点
是线段
上的一个动点，过点
作轴的平行线与抛物线在轴下方交于点
，试问线
段
的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
若此抛物线的对称轴上的点
满足
，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
存在，
．
或
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
抛物线的对称轴为直线
，
∵点
，
∴点
的坐标为
，
∵点
在轴的正半轴，
，
∴点
的坐标为
，
∴
，
解得
，
∴此抛物线的解析式
．
设直线
的解析式为
，
则
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
∴
，
∵点
在轴下方，
∴
，
又∵
，
∴当
时，
的长度有最大值
．
如图，设
的外接圆的圆心
，
则点
在对称性直线
上，也在直线
的垂直平分线
上，
∴点
的坐标为
，
∴外接圆的半径为
，
∵
，
∴
，
∴
时，点
为⊙
与对称轴的交点，
点
在点
的下方时，
，
点
在点
的上方时，
，
综上所述，
或
时，抛物线的对称轴上的点
满足
．
【知识点】二次函数与角度问题
2. 如图，抛物线
交轴于
，
两点，交轴于
．
，
，
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
x
y
O
求抛物线的解析式．
点
为抛物线上一点，若
，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
∴
．
或
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
作
轴于
，设
，
∴
或
，代入抛物线，
∴
或
，
∴
或
，
∴
或
或
或
，
∴
或
，
∴
或
．
x
y
O
【思想】函数思想
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
4
【知识点】二次函数与角度问题
【知识点】二次函数一般式
x
y
O
（1 ）
（2 ）
3.
x
y
O
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
为轴正半轴上一点，点
、
关于轴对称，过
任作直线与抛物线
交于
、
两点．
求证:
．
若点
,且
，试求所有满足条件的直线
的解析式．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析
或
．
设
，
，
由
，
，得
，
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
，
∴
∴
∴
．
法一：
，
，
，
，
，
，
5
x
y
O
【标注】
由（）得
，
作
轴于
，
轴于
．
则
，
，
，
，
在
和
中，
，
即
整理，得：
，
，
又∵
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，或
．
法二：
，
，
，
由（I）得
，
则
，
∴
，
联立，得
，
可得
，
，
由于
又经过
，
∴待定系数，可得
或
．
【知识点】二次函数与角度问题
，
，
，
，
，
4. 如图，抛物线
与轴交于
、
两点，与轴交于
点，点
为
抛物线的顶点，
是以
为斜边的直角三角形．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求出抛物线的解析式．
在
点右侧的抛物线上是否存在一点
，使得
若存在求出
的坐标，若
不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，
．
令
，则
，解得：
，
，
∴
、
，令
，则
，
∴
，
又∵抛物线对称轴为直线
，顶点
，
∴
，
，
又∵
的
为斜边，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
存在，
过点
作
交
于点
，设
，
过点
作
轴于点
，
，
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【标注】
∴
，
又∵
为等腰直角三角形，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，解得：
，
∴
，
∴
，与抛物线联立解得：
，
∴
．
【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图，已知点
，
，
在抛物线
上．
求抛物线的解析式．
在直线
上方的抛物线上求一点
，使
的面积为．
在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点
，使
？若存在，求出
点
坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）抛物线的解析式为
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
点
的坐标为
或
．
存在．
点的坐标为
．
设抛物线的解析式为
，将
代入得
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
．
过点
作
轴，交
于点
．
设直线
的解析式为
，则
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
设点
，则
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
，整理得：
，解得：
或
，
∴点
的坐标为
或
．
存在．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴点
为
的外接圆与抛物线对称轴在轴下方的交点．
设
的外接圆圆心为
，则
．
设⊙
的半径为，则
中，由勾股定理可知
，即
，解得：
（负值已舍去），
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【标注】
∵
的垂直平分线为直线
，
的垂直平分线为直线
，
∴点
为直线
与直线
的交点，即
，
∴
点的坐标为
．
【知识点】二次函数双根式（交点式）
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，抛物线
与轴的两个交点分别为
，
，与轴交于点
，
抛物线的顶点为点
，连接
、
．
x
y
O
x
y
O
备用图
求抛物线的解析式．
抛物线的对称轴与轴交于点
，过抛物线上一点
作
，交直线
于点
，当满
足
时，请直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
．
∵将点
，
，
代入
中，
得：
，解得
．
∴抛物线解析式为：
．
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（2 ）∵抛物线
，
∴
，
．
∴
，
①当
在对称右侧时，
Ⅰ 若点
在射线
上，如图：
x
y
O
过点
作轴垂线，垂足为
，
过点
作
，垂足为
，
由
、
可知
，
则
，
均为等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
相似比为
设
，则
，
，
∴
，
代入
中得：
（舍去），
·
∴
．
Ⅱ 若
在射线
上，如图：，
x
y
O
过点
作轴垂线，分别过
，
作
垂线，垂足为
，
，
则
，
均为等腰直角三角形，
∵
，
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【标注】
∴
，
设
，
则
，
，
∴
．
将
代入
中得：
（舍去），
．
∴
．
②当点
在对称轴左侧时，
∵
，
∴
，
∴点
不存在．
综上
或
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，抛物线
与轴交于点
和点
，与轴交于点
，点
坐标为
，点
坐标为
，点
是抛物线的顶点，过点
作轴的垂线，垂足为
，连接
．
求抛物线的解析式及点
的坐标．
若点
是抛物线上的一个动点，当
时，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
抛物线解析式为
，
．
或
．
把
、
两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得
，
∴抛物线解析式为
，
∵
，
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（2 ）
【标注】
∴
．
如图，过
作
轴于点
，
设
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，
当点
在轴上方时，有
，解得
或
（舍去），此时
点的坐标为
；
当点
在轴下方时，有
，解得
或
（舍去），此时
点的坐标为
；
综上可知
点的坐标为
或
．
【知识点】二次函数与角度问题
