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1
抛物线与存在性（9）和差角与倍半角【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，经过点
的抛物线
与轴相交于
，
两点．
求此抛物线的函数关系式和顶点
的坐标．
将（）中求得的抛物线向左平移个单位长度，再向上平移
个单位长度得到新抛
物线
，若新抛物线
的顶点
在
内，求
的取值范围．
设点
在轴上，
，直接写出
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线的解析式：
，顶点
．
．
的长为
或．
将
、
代入抛物线
中，得：
，解得
．
∴抛物线的解析式：
，
顶点
．
由题意，新抛物线的解析式可表示为：
，
即：
．它的顶点坐标
．
由（）的抛物线解析式可得：
．
∴直线
．直线
．
当点
在直线
上时，
，解得：
．
又∵
，
∴当点
在
内时，
．
由
、
得：
，且
是等腰直角三角形．
如图，在
上取
，则
．
∴
，
2
【标注】
即
．
如图，在
、
中，
，
，
∴
，得：
．
由勾股定理，得
，
又∵
，
∴
，
，
，
．
综上所述，
的长为
或．
【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
经过点
、
、
三
点．
x
y
O
求抛物线的解析式和顶点
的坐标．
将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点
顺时针旋转
，与直线
交于点
．在直线
上
是否存在点
，使得
．若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
抛物线的解析式是
．
顶点
的坐标为
．
存在，点
的坐标为
．
由题意把
、
、
代入
，
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式是
．
，
3
方法一：
（2 ）
∵
∴抛物线的顶点
的坐标为
．
由旋转得
，在
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
点的坐标为
，设过点
、
的直线解析式是
，
x
y
O l
把
，
代入求得
，
分两种情况：①当点
在射线
上时，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
∴
，
得
，
∴点
的坐标为
，
②当点
在射线
上时，不存在点
使得
理由：∵
，
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴不存在，
综上所述，存在点
，且点
的坐标为
．
，
，
4
方法二：
在射线
上，过点
作
轴于点
，
x
y
O
由旋转得
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
在
中，
∴
．
在
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
点坐标为
．
②M在射线
上，不存在点
使得
，
理由：
∵
，
，
∴
，
∵
，∴
．
∴
，
∴不存在，
综上所述，存在点
，且点
的坐标为
．
，
，
5
【标注】【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与轴交于
，
两点（点
在点
的
左侧），与轴交于点
，直线经过
，
两点，连接
．
求直线的解析式．
若直线
（
）与该抛物线在第三象限内交于点
，与直线交于点
，连接
．
当
时，求线段
的长．
取点
，连接
，在第一象限内的抛物线上，是否存在点
，使
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在点
，使
，证明见解析．
∵抛物线
，
∴当
时，得
，
，当
时，
，
∵抛物线
与轴交于
，
两点（点
在点
的左侧），与轴交于点
，
∴点
的坐标为
，点
，点
，
∵直线经过
，
两点，设直线的函数解析式为
，
，得
，
即直线的函数解析式为
．
直线
与轴交于点
，如右图所示，由（）可得，
，
，
，
∴
，
∴
，
6
（3 ）
∵
，
，
，
∴
，
∴
，即
，得
，
∵
轴，
，
∴
，
∴
，
∴
，解得，
，
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
．
存在点
，使
，
理由：作
于点
，作
轴于点
，如右图所示，
∵点
，点
，点
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵点
，
，
，
∴
，
，
∴
，
，即
，
7
【标注】
解得，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设点
的坐标为
，
∴
，
，
∴
，
解得，
，
（舍去），
当
时，
，
∴点
的坐标为
，
即存在点
，使
．
【知识点】定直线（线段）与动抛物线交点问题
（1 ）
4. 如图，已知抛物线
经过
、
、
三点，
为坐标原
点．
x
y
O
求此抛物线的解析式．
8
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
设点
在轴上，且满足
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
的长为或
．
把
、
、
三点的坐标代入函数解析式可得
，解得
，
∴抛物线解析式为
．
当点
在轴负半轴上时，如图，过
作
，交
的延长线于点
，
x
y
O
图
由题意可知
，
∴
，
∴
， ∴
，
在
中，
，
，
可求得
，
设
，则
，
∵
，
，
∴
∽
，
∴
，
即
，
由
可求得
，
∴
，
解得
．
可求得
．
9
【标注】
如图，在轴正半轴上截取
，连接
，
x
y
O
图
则
，
∴
，
∴
也满足题目条件，
此时
，
综上可知
的长为或
．
【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
（
）与轴交于点
和点
，且
，与轴交于点
，此抛物线顶点为点
．
求抛物线的表达式及点
的坐标．
如果点
是轴上的一点（点
与点
不重合），当
时，求点
的坐标．
如果点
是抛物线上的一点，且
，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
．
．
∴
．
设
，
10
方法一：
方法二：
（3 ）
【标注】
则
（舍），
，
∴
．
由（）得
，
∴
≌
，
，
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
也可构造如图所示辅助线，
为等腰直角三角形，利用
≌
．
可求得
点坐标，求解即可．
【知识点】象限内坐标的特征
【知识点】二次函数一般式
【知识点】二次函数与角度问题
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】勾股定理
【能力】运算能力
【思想】函数思想
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