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1
抛物线与存在性（9）和差角与倍半角【题集B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
与轴相交于
、
两点（点
在点
的左侧），与轴相交于点
，直线
与抛物线相交于点
，
，与轴交于点
，已知
，
．
O
D
B
A
E
C
O
D
B
A
E
C
备用图
求，，的值．
点
是抛物线上的一个动点，若直线
，连接
、
，求
的值．
动点
从点
出发，沿着轴的负方向运动，是否存在某一位置，使得
？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
或
．
或
．
∵
，
，
∴
，
，
把
，
代入
得
，解得
，
∴抛物线解析式为
，
当
时，
，解得
，
，则
，
把
代入
得
，解得
．
易得直线
的解析式为
，
，
∵直线
，
∴直线
的解析式为
，
2
（3 ）
解方程组
得
或
，则
点坐标为
或
；
当
点坐标为
，即
点与
点重合，
，此时
，
当
点坐标为
时，作
于
，如图，
O
D
B
A
E
C
P
H
图
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
综上所述，
的值为
或
．
如图，
O
D
B
A
E
C
Q
F
图
在
中，
，
∴
，
，
∴
，
3
【标注】
∵
，
∴
，
作
于
，如图，设
，
在
中，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
：
：
，解得
，此时
，
易得
关于轴的对称点
也满足条件，
综上所述，点
的坐标为
或
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，已知抛物线经过点
、
、
三点．
x
y
O
该抛物线解析式为 ；顶点坐标为 ．
将该抛物线向下平移个单位长度，再向右动
个单位长度使得抛物线的顶点在
内部（不包括边界），试求的取值范围．
在轴上是否存在点
，使得
若存在，求出
的长度；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
．
存在．
或．理由见解析．
设抛物线为
，
4
（2 ）
（3 ）
将
、
、
代入得
计算得出：
故抛物线解析式为：
故顶点坐标为
．
由（）得，
平移后的抛物线为：
∴平移后的抛物线顶点为
，
设直线
的解析式为：
，
将
、
代入得
计算得出：
直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴
，
∴
．
当
在轴负半轴上时，如图，
x
y
O
过点
作
的垂线，垂足为
，
∵
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
5
【标注】
设
，则
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②当
在轴正半轴上时，取
，如图，
x
y
O
则由对称知：
，
，
∴
同理
也满足题目条件，
∴
，
综合以上得：
或．
【知识点】二次函数与角度问题
，
3. 如图，在平面直角坐标中，过点
的抛物线
与直线
交于另一点
．过
抛物线
的顶点
作
轴于
点，点
为抛物线
在轴上方的动
点．
6
x
y
O
（1 ）
x
y
O
（2 ）
x
y
O
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
填空：
．
连接
，当
时，请求出的值．
当
时，过点
作
轴于
点，交
于点
，连接
，点
为线段
上一动
点，过点
作
交
于点
，连接
、
．当
时，求
点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或
．
．
∵直线
过点
，
∴
，
解得
．
①当点
在
左侧时，如图，作
于点
，
7
（3 ）
x
y
O
∵
，∴
．
∵
，
∴顶点
的坐标是
．
∵
，且
，
∴
，
∵
在抛物线
上，
∴
，
∴
．
整理，可得
，
解得
或
（舍去）．
②当点
在
右侧时，如图，作
于点
，
x
y
O
由①知
，
∴
，
整理，可得
，
解得
或
（舍去）．
综上，当
时，
或
．
如图，作
于点
，
交
于点
，
x
y
O
8
∵
，∴点
的坐标是
，点
的坐标是
，
∴
，
，联立
，
可得
或
，
∴点
的坐标是
，
∴
．
∵
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∴
，
即
．
设
，则
，
，
，
可求得
，
．
∵
，
，
∴可求得
．
联立直线
与直线
的解析式，求得
，
∴可求得
．
∴
．
∵
，
，
∴
，∴
．
∵
，∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，∴
，
∴
，解得
，
9
【标注】
∴点
的纵坐标为
．可求得直线
的解析式为
，
∴
，∴
．
∴点
的坐标是
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
分别交轴于点
，
（点
在点
左侧），交轴于点
，
．
备用图
备用图
求的值．
点
为抛物线的顶点，点
在线段
上，过点
作
轴于点
，在
的延长线上取点
，连接
，在轴上点
的左侧取点
，连接
，且
，若
，求
的长．
在（）的条件下，在
上取点
，使得
，若
，求点
的坐标，并判断此时点
是否在抛物线上．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
点
坐标
，坐标
在抛物线上．
∵对称轴
，且
，
∴
，
，
∵把
代入抛物线
中得：
，
∴
．
如图，
10
（3 ）
抛物线解析式为：
，
，
则顶点
，
设直线
的解析式为：
，
把
，
代入
中得：
，
解得：
，
则直线
的解析式为：
，
设
，则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，作
于
，
于
，
交
于
，
于
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，设
，
∵
，
，
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【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴点
坐标
，
∵
，
∴
∴
∴
，
，
∴点
坐标
，点
坐标
，
∵抛物线解析式为：
，
∴
时，
，
∴点
在抛物线上．
【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
5. 抛物线
与轴交于
、
两点(
在
左侧)，与轴交于点
如图，当
时，连接
、
，求
的面积．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
x
y
O
图
如图，在
的条件下，若点
为在第四象限的抛物线上的一点，且
，求
点坐标．
x
y
O
图
如图，当
时，若
是抛物线上
、
之间的一点(不与
、
重合)，直线
、
分别交轴于
、
两点，在
点运动过程中，是否存在固定的值，使得
．若
存在，求出值：若不存在，请说明理由．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
当
时，
当
时，
∴
当
时，
∴
，
∴
，
∴
．
13
x
y
O
（2 ）
（3 ）
由
知：
，
∴
，
∴
∴
又∵
∴
过
作
轴交
延长线于
∴
又∵
∴
≌
∴
∴
∴直线
解析式为：
∴
∴
∴
（舍），
∴
．
当
时，
∴
∴
∴
，
∴
，
当
时，
∴
设
解析式为：
解析式为：
∴
，
∴
∵
∴
∴
①
14
【标注】
同理：
②
由②
①，得：
∴
∴
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
