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抛物线与存在性（9）和差角与倍半角【题集C】
x
y
O
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
与轴交于点
，
，与轴交于点
，直线
经过点
，
．
求抛物线的解析式．
点
为直线
上方抛物线上一动点．
连接
，交
于点
，求
的最大值．
过点
作
，垂足为点
连接
，是否存在点
，使
中的一个角等于
的倍？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
点坐标是
或
．
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
将
，
点坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
抛物线的解析是为
．
过点
向轴作垂线，交直线
于点
，交轴于点
，
∵直线
轴，
∴
，
∴
把
代入
，得
，即
，
设点
，则点
，
2
x
y
O
图
2
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
有最大值．
x
y
O
图1
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
是以
为直角的直角三角形，
取
的中点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
过
作轴的平行线交轴于
，交
的延长线于
，
情况一：如图，
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
令
，
∴
，
，
∴
，
∴
（舍去），
，
∴
，
，
∴
．
3
【标注】
情况二，∵
，
∴
，
设
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
（舍去），
，
，
，即
，
综上所述：
点坐标是
或
．
【知识点】二次函数与角度问题
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线
与轴交于点
，与轴交于点
，抛物线
经过
、
两点，与轴的另一交点为点
．
求抛物线的函数表达式．
点
为直线
上方抛物线上一动点．
连接
、
，设直线
交线段
于点
，
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值．
过点
作
，垂足为点
，连接
，是否存在点
，使得
中的某个角
恰好等于
的倍？若存在，求点
的横坐标．若不存在，请说明理由．
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备用图
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
或
．
根据题意得
，
，
∵抛物线
经过
、
两点，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，令
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
过
作
轴于
，过
作
轴交
于
，
图
∴
，
∴
，
5
2
∴
，
设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∴当
时，
的最大值是
．
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
是以
为直角的直角三角形，取
的中点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
过
作轴的平行线交轴于
，交
的延长线于
，则
，
情况一：如图，当
时，
x
y
O
∵
，
，
∴
，
∴
，
即
，
令
，
∴
，
，
∴
，
∴
（舍去），
，
6
【标注】
∴
．
情况二：当
时，
∴
，
设
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
（舍去），
，
综上所述，点
的横坐标为
或
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，抛物线
交轴于点
，
两点，交轴于点
．
求抛物线的解析式．
在第一象限内抛物线上，找一点
使
的面积是
的面积的
倍，求点
的坐
标．
在抛物线上，找一点
使
，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
7
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
【标注】
把
，
两点代入
得
，解得
，
所以抛物线的解析式
．
如图，
∵
交轴于点
．
∴
，
设
，
∵
的面积是
的面积的
倍，
∴
，
∴
，
代入
得
，
（舍去），
∴
，
∴
．
如图，作
于点
，
于点
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
设
，
∴
，
∴
，解得
，
与
联立得
，解得
（舍去），
．
∴
．
【知识点】二次函数与面积
4. 如图，二次函数
的图象交轴于点
，
，交轴于点
，将图象沿坐
标轴翻折得到新的图象，与图象开口方向相同的新的图象交轴于点
（在轴的正半轴上）．
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x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求出的值，并写出点
的坐标以及新的图象所对应的函数解析式．
若
为轴上一个动点，
为直线
上的一个动点，请找出点
，使得
最小，并求
出最小值．
在轴的正半轴上有一点
，使得
，直线
交图象于点
（点
在
第二象限），若
，试求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
的坐标为
，
最小值为
．
．
∵
经过
，
∴
，解得
，
∵图象沿坐标轴翻折得到新的图象，且开口方向相同，
∴图象沿轴翻折，
∴
与
关于轴对称，
∴
，
∵
关于轴对称的坐标为
，
关于轴对称的坐标为
，
∴设新的函数解析式为
，
∴
，
∴
．
如图，作点
关于轴的对称的
，
点
作
与点
，交轴于点
，
此时
最短，为
，
由（）得
，
，
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
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x
y
O
x
y
O
（3 ）
【标注】
∴
，
∴直线
的解析式为
，
将
代入得
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
联立
，解得
，
∴
，
此时
的坐标为
．
过点
作
，
，
关于轴对称，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴直线
的解析式为
，
∵直线
，且过点
，
∴直线
的解析式为
，
联立
，解得
，
∴
，
，
∵
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
∴联立直线
和，得
．
【知识点】二次函数与角度问题
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（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，已知抛物线的顶点坐标为
．且经过点
．与轴交于
、
两点（点
在点
的
左侧），与轴交于点
．抛物线的对称轴与轴交于点
．
x
y
O
求抛物线的解析式．
抛物线对称轴上是否存在这样的点
，使
？若存在，求出点
的坐标；若
不存在；请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，点
的坐标为
或
．
当点
在轴上方时，如图，
x
y
O
∵
，
∴点
，
，
，
四点共圆，
利用
可求得圆心坐标为
，
点
的坐标为
当点
在轴下方时，
由对称知，
，综上，点
的坐标为
或
．
【知识点】二次函数与角度问题
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