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1
抛物线与线段最值（3）胡不归【题集】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于
、
两点（点
在
点
的左侧），与轴交于点
，对称轴与轴交于点
．
x
y
O
图
求直线
的解析式．
如图，点
为直线
上方抛物线上一点，连接
、
．当
的面积最大时，在线段
上找一点
（不与
、
重合），使
的值最小，求点
的坐标和
的最小值．
x
y
O
图
如图，点
是线段
的中点，将抛物线
沿轴正方向平移得
到新抛物线
，
经过点
，
的顶点为
．在抛物线
的对称轴上，是否存在一点
，使得
为直角三角形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
O
图
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在，
，
．
当
时，
，
∴点
的坐标为
；
当
时，有
，
解得：
，
，
∴点
的坐标为
．
设直线
的解析式为
，
将
、
代入
，得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
故答案为：
．
如图中，过点
作
轴于点
，交直线
于点
．
轴，
x
y
O
图
设
，则
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
最大，
∴
，
3
（3 ）
∵直线
的解析式为
．
∴
，
轴，
∴
，
∴
，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当
，
，
三点共线且垂直于轴时，
值最小．
∴
，
故答案为：
．
∵
是对称轴直线
与轴的交点，
是
的中点，
∴
，
，
∴直线
解析式
，
∵抛物线
沿轴正方向平移得到新
抛物线
，
经过点
，
∴
，
∴
，
∴对称轴为
，
∵
为直角三角形，
∴
或
，
（不合题意，舍去）．
当
，则
轴，
∴
，
当
，设点
坐标
，
∵
．
∴
．
∴
，
∴
，
综上所述：
，
．
故答案为：存在，
，
．
4
【标注】【知识点】二次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，抛物线
交轴于
、
两点，点
在点
的右侧，交轴于点
，点
为
顶点．
x
y
O
求点
、
的坐标．
若点
是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点，当
时，在线段
上
有一动点
，当
的值最小时，求
的坐标和
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
、
．
当
时，
的最小值为．
略．
略．
【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知抛物线
经过点
和点
．
求此抛物线解析式．
点
、
分别是轴和轴上的动点，求四边形
周长的最小值．
过点
作轴的垂线，垂足为
点．点
从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达
点，再沿
到达
点，若
点在对称轴上的运动速度是它在直线
上运动速度的
倍，试
确定点
的位置，使得点
按照上述要求到达
点所用的时间最短．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
x
y
O
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
的坐标是
．
依题意：
，解得
，
∴抛物线的解析式为
．
故答案为：
．
点
关于轴的对称点
的坐标是
，
点
关于轴的对称点
的坐标是
，
由对称性可知
，由勾
股定理可求
，
．
所以，四边形
周长的最小值是
．
故答案为：
．
x
2
4
y
2
O
确定
点位置的方法：过点
作直线
使对称轴到直线
成
角，
则
与对称轴的交点为所求的
点；
设对称轴于轴交于点
，
在
中，由
，
，
，
得
．所以，点
的坐标是
．
6
【标注】
故答案为：
的坐标是
．
x
2
4
y
2
2
O
【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交轴于
，
两点（点
在点
的左
侧），交轴于点
．
x
y
O
图
求直线
的解析式．
完成下列各题．
点
是直线
上方抛物线上的一动点（不与点
，点
重合），过点
作
于
点
求
的最大值.
当线段
的长度最大时，点
从点
出发，先以每秒一个单位的速度沿适当的路径运
动到轴上的点
处，再沿
以每秒
个单位的速度运动到点
停止．当点
在整
个运动中用时最少时，求点
的坐标．
如图，将
沿直线
平移，点
平移后的对应点为点
，点
平移后的对应点为点
，点
平移后的对应点为点
，点是坐标平面内一点，若以
、
、
、为顶点的四边形
是菱形，求出所有符合条件的点的坐标．
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（1 ）
1
（2 ）
【解析】
x
y
O
图
x
y
O
备用图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
．
．
．
或
或
或
或
．
对于抛物线
，令
，得到
，
∴
，
令
，得到
，解得
或
，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，则有
，
解得
，
∴直线
的解析式为
．
故答案为：
．
如图中，设
，连接
、
，作
轴交
于
，
则
．
x
y
O
图
∵
，
为定值
，
8
2
（3 ）
∴
最大时，
的面积最大，
∵
，
又∵
，
∴
时，
的面积最大，最大值
，
此时
，
，
∴
．
故答案为：
．
如图中，在轴上取一点
，作直线
，作
直线
于
交轴于
．
x
y
O
图
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点
在整个运动的时间
，
根据垂线段最短可知，点
即为所求的点，
∵直线
的解析式为
，
，
∴直线
的解析式为
，
∴
．
故答案为：
．
①如图或中，当四边形
是菱形时，设
交
于
，
，
9
x
y
O
图
x
y
图
∵点
在直线
上，
，设
，
∴
，
解得
，
∴
或
，
∴
或
，
∵
，
∴
或
．
②如图或中，当四边形
是菱形时，设
交
于
，
，
x
y
图
x
y
图
∵点
在直线
上，
，设
，
∴
，
解得
或
，
∴
或
，
∴
或
，
∵
，
∴
或
．
③如图中，当四边形
是菱形时，
垂直平分线段
，
10
【标注】
x
y
图
直线
的解析式为
，
由
，解得
，
∴
，
∵
，
∴
，
综上所述，满足条件的点坐标为
或
或
或
或
．
故答案为：
或
或
或
或
．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
