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1
抛物线与圆：线段最值（2）阿氏圆【题集】
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，抛物线
（
，、为常数）与轴交于
、
两点，与轴交于
点，直线
的函数关系式为
．
求该抛物线的函数关系式与
点坐标．
已知点
是线段
上的一个动点，过点
作轴的垂线分别与直线
和抛物线交于
、
两点，当
为何值时，
恰好是以
为底边的等腰三角形？
在（）问条件下，当
恰好是以
为底边的等腰三角形时，动点
相应位置记为点
，将
绕原点
顺时针旋转得到
（旋转角在
到
之间）．
探究：线段
上是否存在定点
（
不与
、
重合），无论
如何旋转，
始
终保持不变，若存在，试求出
点坐标．若不存在，请说明理由．
试求出此旋转过程中，
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
，
．
存在，
．
．
在
中，令
，则
，令
，则
，
∴
，
，
把
，
代入
得
，
∴
，
∴抛物线的函数关系式为：
，
令
，则
，
2
（2 ）
1
2
（3 ）
∴
，
，
∴
．
∵点
，过点
作轴的垂线分别与直线
和抛物线交于
、
两点，
∴
，当
为底时，
作
于
，则
，
，
∴
，
解得：
，
（不合题意，舍去），
∴当
时，
恰好是以
为底边的等腰三角形．
存在，
∵
，
，
∵
，
∴当
时，
，
∴
不变，
即
，
∴
．
∵
在以
为圆心，为半径的半圆上，由（）知，
，
∴
，
∴
的最小值
，
∴此时
，
，
三点共线，
∴
的最小值
．
3
【标注】【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知：抛物线
与轴交于
、
两点，与轴交于点
，点
为顶
点．
求抛物线解析式及点
的坐标．
若直线过点
，
为直线上的动点，当以
、
、
为顶点所作的直角三角形有且只有三个
时，求直线的解析式．
如图，
为
的中点，将线段
绕点
顺时针旋转得到
，旋转角为
，连接
、
，当
取得最小值时，求直线
与抛物线的交点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线的解析式为
，
．
或
．
．
∵抛物线
与轴交于
、
两点，
∴
．
∵
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
∴
．
过点
、
分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即个点
．以
为直
径的⊙
如果与直线相交，那么就有个点
；如果圆与直线相切，就只有个点
了．如
图所示：以
为直径作⊙
，作
与
相切，则
，过
作
．
4
（3 ）
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
，
设的解析式为
，则
，解：
，
，
∴直线的解析式为
．
由图形的对称性可知：当直线经过点
时，直线与⊙
相切，则
，
，解得：
，
，
∴直线的解析式为
，
综上所述，直线的解析式为
或
．
如图所示：在轴负半轴上取点
使
，连接
．
∵
，
，
，
∴
，
5
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴当
、
、
在一条直线上时，
有最小值，此时直线过
，
两点，
∴直线
的解析式为
，
由
，解得
或
，
直线
与抛物线的交点坐标为
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数
的图象经过
，
，
三点．
求出二次函数解析式和顶点
的坐标．
解答下列问题：
为抛物线对称轴上一点，过点
作
轴，分别交抛物线于
、
两点，若
，求点
的坐标．
若抛物线对称轴上点
到直线
的距离等于点
到轴的距离，则求出点
的坐标．
在（）的条件下，以点
为圆心，
的长为半径作⊙，为⊙上的动点，求是否
存在一个定值，使得
的最小值是
，若存在，请求出的值，若不存在，请
说明理由．
6
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
，
．
．
或
．
．
∵抛物线过点
，
，
∴设
，
∵过点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵抛物线过
，
，
∴对称轴为
，
∴设
，
∵
，
∴
，令
，
则
，即：
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．解得：
．
∴点
的坐标为
．
如图，
，垂足为
，对称轴与轴的交点为
，
设点
，则
，
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（3 ）
∵
，
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴点
，
∴
，
再
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴点
的坐标是
，
同理，
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴点
的坐标是
，
综上，点
的坐标是
或
．
如图，连接
，
，
，取点
，连接
，
，
∵
，
，
，
∴⊙的半径为
，
∵
，
，
∴
轴，
∴
，
∴当动点运动到与点
、
共线时，
取得最小值
，
∴
，即
,
∵
，
，
，
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【标注】
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
4. 如图，抛物线
与直线
交于
，
两点，直线
：
交轴于点
．点
是直线
上的动点，过点
作
轴交
于点
，交抛物线于
点
．
求抛物线
的表达式．
连接
，
，当四边形
是平行四边形时，求点
的坐标．
解答下列各题：
在轴上存在一点
，连接
，
，当点
运动到什么位置时，以
，
，
，
为
顶点的四边形是矩形？求出此时点
，
的坐标．
在①的前提下，以点
为圆心，
长为半径作圆，点
为⊙
上一动点，求
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
9
（1 ）
（2 ）
图
1
（3 ）
【解析】
1
2
（3 ）
，
．
．
∵点
，
在抛物线
上，
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为
．
设直线
的解析式为
过点
，
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
．
设
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，
由（）知，直线
的解析式为
，
∴设
．
∵直线
，
∴
．
设
，
∵以点
，
，
，
为顶点的四边形是矩
形，
且直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，
∴
，
∴
与
互相平分，
10
图
2
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
．
如图，
由①知，
，
，
，
∴
，
．
设
交⊙
于
，取
的中点
，
∴
．
连接
交⊙
于
，连接
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值
．
设点
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
或
（由于
，所以舍去），
∴
．
∵
，
∴
，
即：
．
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【标注】【知识点】二次函数与圆的综合问题
