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相似【章节复习】找规律问题 题集B1
一、教学目标
了解等比数列，能利用相似解决与等比数列有关的图形找规律问题．
二、知识讲解
等比数列
（1）特点：后一个数与前一个数的比值相等，相等的比值叫做公比．
（2）求第项：
第一项为
，公比为，
第二项为
，
第三项为
，
……
第项为
，
前项和公式：
(
，为正整数）．
在整个初中的学习中，我们多次遇到找规律问题，其中有很多和图形类相关的找规律题目是找线段之间
的关系或面积之间的关系，这类规律问题符合等比数列的特点，我们一般也通过等比数列的特点解决问
题．在我们学习过相似后，这类问题还可以从相似的角度思考．
例题1
如图，已知
中，
，
，过直角顶点
作
，垂足为
，再过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
，再过
作
，垂足为
，
，
这样一直做下去，得到了一组线段
，
，
，
，则
，
= ．（其中为正整数）
2
【解析】
【标注】
【答案】
;
在
中，
，
，由勾股定理得
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
解得
，
由平行线的性质，得
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
练习1
【解析】
已知
中，
，
，
平分
交
于
，过
作
交
于
，作
平分
，交
于
，过
作
，交
于
，
依次进行下去，则
线段的长度用含有
的代数式表示为 ，
线段的长度用含有
的代数式表示为 ．
【答案】
;
依题可知，
，
，
，
∵
平分
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
设
，
，
，
，
3
【标注】
解得：
，
，
，
（舍），
即
．
∵
，
∴
，
同理
，
，
，
，
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
例题2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，已知
中，
，
，回答下列问题：
四边形
是
的内接正方形，则
．
四边形
是
的内接正方形，则
．
按（）和（）中的规律作图，四边形
是
的内接正方形，四边形
是
的内接正方形，…，四边形
是
的内接正方
形，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
探索规律：
，
，
，…，
．
4
【标注】
另解：由“相似三角形中的对应线段之比等于相似比”可知：
，故
．
【知识点】三角形内接四边形问题
练习2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，在
中，
，
，
，四边形
为
的内接正方形，
若设正方形的边长为，容易算出的长为
．
图
如图，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于
，则正方形
的边长为 ．
图
如图，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于
，则正方形
的边长为 ．
图
如图，若三角形内有并排的个全等的正方形，它们组成的矩形内接于
，请你猜想正
方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）正方形的边长是
．
若三角形内有并排的个全等的正方形，它们组成的矩形内接于
，正方形的边长是
．
证明如下：
如图，过点
作
，垂足为
，交
于点
，设小正方形的边长为．∵四边形
为矩形，
∴
，
，容易算出
．∴
．
即
．∴
．即小正方形的边长是
．
【知识点】三角形内接四边形问题
2. 已知：如图，在
中，点
，
，
分别是
、
、
的中点，
，
，
分别是
，
，
的中点，依此类推
．若
的周长为，则
的周长
为 ．
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【解析】
【标注】
图
图
图
【答案】
，
，
分别是
的边
、
、
的中点，
∴
、
、
是
的中位线，
∴
，且相似比为
，
∵
，
，
分别是
，
，
的中点，
∴
且相似比为
，
∴
的相似比为
，
依此类推
的相似比为
，
∵
的周长为，
∴
的周长为
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
例题3
1.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，四边形
、
、
都是正方形，且
、
、
在
边上，
、
、
在
边上．则线段
的长用含的代数式表示为 ．（为正整数）
【答案】
由题意可得：
，
∴
，
7
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
，
故
，
，
同理可得出：
，
∴线段
的长用含的代数式表示为：
．
故答案为：
．
【知识点】相似A字型
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，第个正方形(设边长为)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角
边是第个正方形的边，第个正方形的边是第个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察
与研究，写出第
个正方形的边长
为( ).
【答案】B
第
个正方形的边长
，
故选：．
【思想】转化与化归思想
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】正方形的性质
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
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练习3
1.
【解析】
【标注】
如图所示，已知：
，
，
在
内依次作等边三角形，使一边在轴上，
另一个顶点在
边上，作出的等边三角形分别是第个
，第个
，第个
，则第个等边三角形的边长为 ．
【答案】
∵
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，
同理可得：
，
，
故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形边长的一半，
∵
，
∴第个等边三角形的边长
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
2.
【解析】
如图，以等腰直角三角形
的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形
，再以等腰直角
三角形
的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形
，…，如此作下去，若
，则第个等腰直角三角形的边长是 ．
【答案】4
∵
，在
中，
，
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【标注】
故第个等腰直角三角形直角边长
，
同理可得第个直角边长为
，第个直角边长为
，第个直角边长为
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】等腰直角三角形的性质
【能力】推理论证能力
三、你讲我听
学生讲题
能讲清楚一道题的解决过程和解题逻辑是衡量是否学懂的最重要的一个标准．请你认真讲解本节课
的【 例 1.1】或【 例 2.1 】，讲清楚题目的考点、方法、逻辑和步骤，培养有条理的分析能力和表达能
力，形成对题目更深的理解．
