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1
相似【章节复习】找规律问题 题集B3
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
已知：在
中，
，
，
．
如图，四边形
是
的内接正方形，则正方形
的边长
是 ．
图
如图，四边形
是（）中
的内接正方形，则第个正方形
的边长
；继续在图中的
中按上述方法作第个内接正方形；
以此类推，则第个
内接正方形的边长
．（为正整数）
图
【答案】（1 ）
（2 ）
;
四边形
是正方形，
图
∴
，
，
∴
，
∴
．
设
，
∴
，
∴
．
如图四边形
是正方形，
2
【标注】
图
∴
，
，
∴
，
∴
，
设
，
，
，
∴
，
∴
．
如图由以上同样的方法可以求得正方形
的边长为：
，
C
图
∴第个正方形的边长为：
，
∴第个内接正方形的边长为：
．
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】相似三角形的判定-预备定理（平行）
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】正方形的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
2. 已知：
是一张等腰直角三角形纸板，
，
．
要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在
的边上．小林设计出
了一种剪法，如图所示．请你再设计出一种不同于图的剪法，并在图中画出来．
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
若按照小林设计的图所示的剪法来进行裁剪，记图为第一次裁剪，得到个正方形，将它的
面积记为
，则
，在余下的个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪
（如图），得到个新的正方形，将此次所得个正方形的面积的和记为
，则
，在余下的个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图），得到
个新的正方形，将此次所得个正方形的面积的和记为
；按照同样的方法继续操作下去
，第次裁剪得到 个新的正方形，它们的面积的和
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
;
;
;
如图所示；
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
4
【标注】
∴
．
同理：
即是第二次剪取后的面积和，
即是第次剪取后的面积和，
∴第一次裁剪得到个新的正方形，它的面积和为：
，
第二次裁剪得到个新的正方形，它们的面积和为：
，
第三次裁剪得到个新的正方形，它们的面积和为：
，
第裁剪得到
个新的正方形，它们的面积和为
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】正方形的性质
【知识点】正方形的存在性
【能力】推理论证能力
四边形
3.
【解析】
如图，
中，
，
．以
为直角边向外作等腰直角三角形
，以
为直角边向外作等腰直角三角形
，以
为直角边向外作等腰直角三角形
，
，连接
，
，
，
，分别与
，
，
，
交于点
，
，
，
，按
此规律继续下去，
的面积记为
，
的面积记为
，
的面积记为
，
，则
．
【答案】
∵
，
∴
，
∴
，
5
【标注】
易知
，
，
，
，
，
∴
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】等腰直角三角形的性质
【能力】抽象概括能力
4.
【解析】
【标注】
如图，面积为的等腰直角三角形
，且
以
为斜边在
外作等腰直
角三角形
，以
为斜边在
外作等腰直角三角形
，以
为斜边在
外作等腰直角三角形
，
连接
，
，
，
分别与
，
，
，
交于点
，
，
，
按此规律继续下去，记
的面积为
，
的面积
为
，
的面积为
，
，
的面积为
，则
．（用含正整数的
式子表示）．
【答案】
由题意可知，
，
∴
，
∴
，
∴
．
由操作步骤可知，
与
，
，
两两相似，且边长每次缩小为原来的
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
6
5.
【解析】
【标注】
如图，
个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，设
的面积为
，
的面积为
，…，
的面积为
，则
（用含的式子表示）．
【答案】
个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，
则
，
，
，…
在一条直线上，
作出直线
．
∴
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，且边长
，
∴
∽
，
∴
，
∴
，
同理：
，
∴
，
∴
，
同理：
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
6.
7
【解析】
【标注】
如图，
的面积为．点
，
，
，…，
是边
的等分点（
，且为整数），
点
，
分别在边
，
上，且
，连接
，
，
，…，
，
连接
，
，
，…，
，线段
与
相交于点
，线段
与
相交于点
，线段
与
相交于点
，…，线段
与
相交于点
，则
，
，
，…，
的面积和是 ．（用含有与的式子表示）
【答案】
连接
，设
交
于
，
交
于
，
交
于
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵点
，
，
，…，
是边
的等分点，
∴
，
∴四边形
，四边形
，四边形
都是平
行四边形，
易知
，
，
，
∴
，
∴
，
故答案为
．
【知识点】比例的综合应用
【知识点】平行线分线段成比例定理
【知识点】比和比例
阴
8
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
7.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，直角
的顶点
在
上，
、
分别交
、
于点
、
，
绕点
任意旋转．当
时，
的值为 ；
当
时，
的值为 （用含的式子表示）．
【答案】
;
∵
，
，
∴
．
过
作
，
，
∴
．
∴
，
∵
，且
，
∴
．
∴
∴
．
即
．
同理当
时，
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在
中，
，
，
于点
，点
为
边上一点，连结
交
于点
，过点
作
交
于点
．
如图，当点
为
中点时，线段
与
的数量关系是 ．
如图，当
，探究线段
与
的数量关系并且证明．
如图，当
，线段
与
的数量关系是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
．
；
过点
作
于点
，作
于点
，
∴
．
∵
于点
，
∴
．
∴
，
．
10
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，即
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
9.
【解析】
如图，
为
的边
上的任意一点，设
，
当
、
分别为
、
的中点时，
，
当
、
分别为
、
的中点时，
，
当
、
分别为
、
的中点时，
，
当
、
分别为
、
的中点时，
，
当
、
分别为
、
的中点时，
，
当
、
分别为
、
的中点时，则
；
设
中
边上的高为，则
的面积为 （用含、的式子表示）．
【答案】
;
;
由题意知，
，
，根据相似的性质，可得到
，
11
【标注】
同理可得到
．
因为
中
边上的高为，
所以
中
边上的高为
，
的面积为
．
【知识点】数列找规律-等比数列的衍生数列
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】作三角形的高，中线和角平分线
【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线
10.
【解析】
如图，在
中，
，
是边
的中点，过
作
于
，连接
交
于
．过
，作
于
，连接
交
于
，过
作
于
，
，如此继续，
记
为
，
记为
，
为
，
，若
面积为，则
．
（用含代数式表示）．
【答案】
;
∵
是边
的中点，
，
∴
为
的中点，
，
设
的高是，
过
作
于
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
12
【标注】
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
同理
，
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
