文档文本内容
1
【数轴上的距离与动点问题】题集【B】
A.
点
B.
点
C.
点
D.
点
1.
【解析】
【标注】
如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点
、
、
、
对应的数分别是整数、
、、，且
，那么数轴的原点应是（ ）．
【答案】B
若原点是
点，则
，
．此时
，与题意不符．
排除．
若原点是
点，则
，
．此时
，与题意相符．选项正确．
若原点是
点，则
，
．此时
，与题意不符．排除．
若原点是
点，则
，
．此时
，与题意不符．
排除．
故选．
【知识点】数轴上两点间距离
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
把一个刻度尺按如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是
），刻度尺上的“
”和“
”
分别对应数轴上的
和，则的值为（ ）．
【答案】C
根据数轴可知：
，
解得
，
故选．
【知识点】数轴上两点间距离
3. 已知数轴上有
、
、
三个点对应的数分别是、、，且满足
．动点
从
出发，以每秒个单位的速度向终点
移动，设移
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
方法一：
方法二：
（3 ）
【解析】
动时间为秒．
求、、的值．
若点
到
点的距离是点
到
点距离的倍，求
点对应的数．
当点
运动到
点时，点
从
点出发，以每秒个单位的速度向
点运动，
点到达
点后，
再立即以同样的速度返回，运动到点
，在点
开始运动后第几秒时，
、
两点之间的距离
为？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
或
．
当
点开始运动后第、、
、
秒时，
、
两点之间的距离为，证明见解
析．
∵
，
且
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
．
设
点对应的数为．
，
，
或
．
得：
或
．
∴
点对应的数为或
．
①当
点在
点右侧，且
点还没追上
点时，
，得：
．
②当
在
点左侧，且
点追上
点后，
，得：
．
③当
点到达
点后，当
点在
点左侧时，
，
．
④当
点到达
点后，当
点在
点右侧时，
，得
．
综上所述，当
点开始运动后第、、
、
秒时，
、
两点之间的距离为．
设在点
开始运动后第秒时，
、
两点之间的距离为，
3
【标注】
从
到
所用时间：
，
从
到
所用时间：
；
①当
时，
对应的数为：
，
对应的数为：
，
∴
，
解得：
或
．
②当
时，
对应的数为：
，
对应的数为：
，
∴
，
解得：
或
．
③当
时，
对应的数为：
，
对应的数为：
，
∴
，
解得：
（舍）．
故时间为或或
或
．
【知识点】一元一次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图，数轴上
、
两点所对应的数分别是和，且
．
则
，
；
、
两点之间的距离
．
有一动点
从点
出发第一次向左运动个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动
个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动个单位长度
按照如此规律不断地作业运
动，当运动到
次时，求点
所对应的有理数．
在（）的条件下，点
在某次运动时恰好到达某一个位置，使点
到点
的距离是点
到点
的距离的倍，请直接写出此时点
的位置，并指出是第几次运动．
【答案】（1 ）
（2 ）
; ;
．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）第
次运动，点
对应的数是
；
第次运动时，点
对应的数是
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
；
∴
、
两点之间的距离
．
故答案为：
；；
．
依题意得：
．
故答案为：
．
设点
对应的有理数的值为，
①当点
在点
的左侧时：
，
，
依题意得：
，
解得：
；
②当点
在点
和点
之间时：
，
，
依题意得：
，
解得：
；
③当点
在点
的右侧时：
，
，
依题意得：
，
解得：
，这与点
在点
的右侧（即
）矛盾，故舍去．
综上所述，点
所对应的有理数分别是
和
．
所以
和
分别是点
运动了第
次和第次到达的位置．
【知识点】数轴上两点间距离
（1 ）
5. 已知数轴上有
，
，
三点，分别表示有理数
，
，
，动点
从
出发，以每秒个单位的
速度向终点
移动，到达点
后停止运动．设点
移动时间为秒．
用含的代数式表示
点对应的数 ．
5
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
用含的代数式表示点
和点
的距离 ．
当点
运动到
点时，点
从
点出发，以每秒个单位的速度向
点运动，
点到达
点后，
再立即以同样的速度返回点
．
求点
、
同时运动的过程中相遇时的值．
在点
开始运动后，请用的代数式表示
、
两点间的距离，并写出相应的取值范
围．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
;
点
、
同时运动的过程中是能相遇的，的值为
或
．
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
点
从
出发以每秒单位的速度向正半轴运动，
为
，则用
加上
的路程
则为
点对应的数：
，两点之间的距离用坐标差的绝对值表示即为
.
返回前相遇：
，解得：
．
返回后相遇：
，解得：
．
综上所述，点
、
同时运动的过程中是能相遇的，的值为
或
．
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
【知识点】数轴上点的平移
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知：如图，点
，
，
在数轴上所对应的数分别为，，，且，，满足
，点
为数轴上一动点，请回答如下问题：
请求出，，的值．
若动点
在线段
上，设点
在数轴上表示的数为，请化简式子：
（请写出化简过程）．
若点
从
点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，同时数轴上另一动点
以每秒个单
位长度的速度从点
出发向左移动，线段
的中点为
，经过多少秒时线段
的长度等于
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
经过
或
秒时线段
的长度等于
．
，
∴
．
由题意知
，
∴原式
．
设运动时间为秒，
则
表示的数：
，
表示的数：
，
∵
为
的中点，
∴
表示的数：
，
线段
的长度：
，
∴
，
，
解得
或
，
综上，经过
或
秒时线段
的长度等于
．
【知识点】结合数轴化简绝对值
，
，
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 如图，数轴上
，
两点对应的有理数分别为
和
，动点
从点
出发，以每秒个单
位的速度沿数轴在点
，
之间做往返运动，同时动点
从点
出发，以每秒个单位的速度沿数轴
在点
，
之间做往返运动．设运动时间为秒．
当
时，点
对应的有理数
，
．
当
时，若原点
恰好是线段
的中点，求的值．
7
（1 ）
（2 ）
【解析】
我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”．当
，
两点第一次在整点处重合时，直接写出
此整点对应的数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
或
．
．
当
时，
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
，
由题意可知，当
，点
运动的最远路径为数轴上从点
到点
，点
运动的最远
路径为数轴上从点
到达点
并且折返回到点
．
对于点
，因为它的运动速度
，点
从点
运动到点
需要秒，运动到点
需要
秒．
对于点
，因为它的运动速度
，所以点
从点
运动到点
需要秒，运动到点
需
要
秒，返回点
需要
秒．
要使原点
恰好是线段
的中点，需要点
和点
分别在原点
的两侧，且
，
此时
．
①当
时，点
运动还未到达点
，有
，有
．
此时
，
．
∵原点
恰好是线段
的中点，
∴
，
∴
，
解得
或
．
检验：当
时，点
和点
重合，且都在原点
左侧，不合题意；
符合题意．
∴
．
②当
时，点
在数轴上原点右侧，点
已经沿射线
方向运动到点
后折
返，要使原点
恰好是线段
的中点，点
必须位于原点
左侧，此时
，
两点的大致
位置如图所示．
此时
，
．
∵原点
恰好是
的中点，
8
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
解得
．
检验：当
是符合题意．
∴
．
综上可知，
或
．
，
第一次重合时，
，
，
∵
，
∴
．
此时
，
所代表数为
，不是整点．
，
第二次重合时，
，
，
∵
，
∴
．
此时，
，
所代表的有理数为：
．
【思想】数形结合思想
【思想】方程思想
【思想】分类讨论思想
【能力】抽象概括能力
【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
【知识点】线段中点与等分点
【知识点】数轴上两点间距离
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
【知识点】一元一次方程的几何问题
8. 如图，在数轴上的
，
，
，
，
，
，这
个点所表示的数分别为
，
，
，
，
，
，若
，且
，
．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
线段
的长度
．
．
若
，求的值．
线段
从点
出发向右运动，当线段
与线段
开始有重叠部分到完全没有重叠部
分共经历了秒，若线段
，求线段
的运动速度．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
的值为
或
．
速度为个单位长度每秒．
，
．
，
，
，
，
，
∴
，
解得
或
，
∴的值为
或
．
不妨设
在右侧，
运动速度为个单位长度每秒，
设
与
重合需要
，
，
设
与
重合需要
，
，
，
∴
，
解得
，
∴
速度为个单位长度每秒．
【知识点】绝对值的非负性
【知识点】数轴
【能力】分析和解决问题能力
9. 在数轴上，把表示数的点称为基准点，记作点
．对于两个不同的点
和
，若点
、点
到点
的距离相等，则称点
与点
互为基准变换点．例如：图中，点
表示数
，点
表示数，它们
与基准点
的距离都是个单位长度，点
与点
互为基准变换点．
10
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
–3
–3
–3 –2
–2
–2 –1
–1
–1
1
2
3
4
5
已知点
表示数，点
表示数，点
与点
互为基准变换点．
若
，则
；若
，则
．
用含的式子表示，则
．
对点
进行如下操作：先把点
表示的数乘以
，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动个
单位长度得到点
．若点
与点
互为基准变换点，则点
表示的数是 ．
点
在点
的左边，点
与点
之间的距离为个单位长度．对
、
两点做如下操作：点
沿
数轴向右移动
个单位长度得到
，
为
的基准变换点，点
沿数轴向右移动个
单位长度得到
，
为
的基准变换点，
，依此顺序不断地重复，得到
，
，
，
．
为
的基准变换点，将数轴沿原点对折后
的落点为
，
为
的基准变换点，将数
轴沿原点对折后
的落点为
，
，依此顺序不断地重复，得到
，
，
，
．若无
论为何值，
与
两点间的距离都是，则
．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
或
∵点
表示数，点
表示数，点
与点
互为基准变换点，
∵
．
当
时，
；当
时，
．
故答案为：；
．
∵
，
∴
．
故答案为：
．
设点
表示的数为，
根据题意得：
，
解得：
．
故答案为：
．
设点
表示的数为
，则点
表示的数为
，
11
【标注】
由题意可知：
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
表示的数为
，
，
∴
，
；
，
．
①令
，即
，
解得：
或
，
又∵为正整数，
∴
为的倍数，
∴和
不符合题意，舍去；
②令
，即
，
解得：
或
．
故答案为：或
．
【知识点】数轴上点的平移
【知识点】数轴上两点间距离
【知识点】一元一次方程的几何问题
【知识点】列代数式
【能力】运算能力
【能力】抽象概括能力
【能力】分析和解决问题能力
【思想】数形结合思想
【思想】方程思想
10. 阅读理解：
若
、
、
为数轴上三点，若点
到
的距离是点
到
的距离倍，我们就称点
是【
】的
好点．
例如，如图，点
表示的数为
，点
表示的数为，表示的点
到点
的距离为，到点
的距离
是，那么点
是【
】的好点；再例如，表示的点
到点
的距离是，到点
的距离是，
那么点
就不是【
】的好点，但点
是【
】的好点．
图
知识运用：如图，
为数轴上两点，点
所代表的数为
，点
所代表的数为.
，
，
，
，
，
12
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
图
数 所表示的点是【
】的好点，数 所表示的点是【
】的好点；
如图，
为数轴上两点，点
所表示的数为
，点
所表示的数为
，现有一个动点
从
点
出发，以个单位每秒的速度一直向左运动，当为何值时，
A
中恰有一个点为
其余两点的好点？
图
备用图
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
或
; 或
，
，
，
，
，
略
由题可知，将点表示为：
则线段可表示为：
由题意得：
当
为【
】的好点时，
，
，解得
；
当
为【
】的好点时，
，
，解得
或
；
当
为【
】的好点时，
，
，解得
；
当
为【
】的好点时，
，
，解得
或
；
当
为【
】的好点时，
，
，解得
；
当
为【
】的好点时，
，
，解得
；
综上所述，
，
20
45
60
即为所求．
【知识点】动点与线段-有数轴
，
，
，，
：
：
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
