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1
全等三角形【章节复习】压轴题--全等综合探究类
【C13】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 【问题提出】
同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“
”、“
”、“
”、“
”、“
”），
请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
不妨将问题用符号语言表示为：在
和
中，
，
，
，然
后，对
进行分类，可分为“
是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
当
是直角时，
≌
．
如图①，在
和
，
，
，
，根据判定方
法 ，可以知道
≌
．
当
是钝角时，
≌
．
如图②，在
和
，
，
，
，且
、
都是钝
角，
求证：
≌
．
当
是锐角时，
和
不一定全等．
①在
和
，
，
，
，且
、
都是锐角，请你
用尺规在图③中作出
，使
和
不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
②
还要满足什么条件，就可以使
≌
？
请直接写出结论：在
和
中，
，
，
，且
、
都是锐角，若 ，则
≌
．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
∵
，
∴
和
是直角三角形，
在
和
中
，
∴
≌
.
如图，过点
作
交
的延长线于
，过点
作
交
的延长线于
，
，
∵
，且
、
都是钝角，
∴
，
即
，
在
和
中，
∴
≌
（
），
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
3
（3 ）
【标注】
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
①如图，
②
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
2. 先阅读材料再解决问题．
【阅读材料】
学习了三角形全等的判定方法“
”，“
”，“
”，“
”和“
”后，某小组同
学探究了如下问题：“当
和
满足
，
，
时，
和
是否全等”．
如图，这小组同学先画
，
，再画
．在画
的过程
中，先过
作
于点
，发现如下几种情况：
当
时，不能构成三角形；
当
时，根据“
”或“
”，可以得到
≌
．
当
时，又分为两种情况．
①当
时，
和
不一定全等．
②当
时，
和
一定全等．
【解决问题】
对于
的情况，请你用尺规在图中补全
和
，使
和
不全等．（标明字母并保留作图痕迹）
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（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于
的情况，请在图中画图并证明
≌
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
证明见解析．
当
时，
∵
，
∴
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
≌
；
当
时，作
于，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
．（
）
∴
，
又∵
，
∴
≌
．（
）
∴
，
∴
≌
．（
）
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【标注】【知识点】多解或多种判定混合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，
中，若
，
，求
边
上的中线
的取值范围．
图
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长
到
，使
，再连接
，相
当于把
、
、
集中在
中，利用三角形的三边关系可得
，即可得到
的取值范围．请你写出
的取值范围 ；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同
一个三角形中．
请你解决以下问题：
题干中
的取值范围为 ．
如图，在
中，
是
边上的中点，
，
交
于点
，
交
于点
，连接
．
图
①求证：
；
②若
，请直接写出线段
、
、
之间的数量关系为 ．
如图，在四边形
中，
，
，
，以
为顶
点作一个
的角，角的两边分别交
、
于
、
两点，连接
，探索线段
、
、
之间的数量关系，并加以证明．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
①证明见解析．
②
．
．
∵
是
的中点，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
①如图，延长
到
，使得
，连接
、
．
图
∵
，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
7
（3 ）
∵
，
，
∴
是
的垂直平分线．
∴
．
在
中，
∵
，
∴
．
②∵
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
．
．
如图，延长
到
，使得
，连接
．
图
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
依题意可知：
，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
≌
（
）．
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【标注】
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】勾股定理
【知识点】线段的垂直平分线的判定定理
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
1
2
（1 ）
（2 ）
4. 完成下面问题．
如图，图，图，在
中，分别以
，
为边，向
外作正三角形，正四边
形，正五边形，
，
相交于点
．
如图，试说明：
≌
．
图
探究：如图，
；如图，
；如图，
．
图
图
如图，
，
是以
为边向
外所作正边形的一组邻边；
，
是以
为边
向
外所作正边形的一组邻边，
，
的延长相交于点
，试猜想：图中
．（用含的式子表示）
图
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1
2
（1 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
证明见解析．
;
;
如图，
图
∵
和
是等边三角，
∴
，
，
，
∴
，
即
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，连结
，
∵四边形
和四边形
是正方形，
∴
，
，
，
，
∴
，
即
，
在
和
中，
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（2 ）
【标注】
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
如图，连结
，
∵五边形
和五边形
是正五边形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
，
，
．
以此类推，当作正边形时，
．
故答案为：
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
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