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相似【章节复习】压轴题-三垂直与存在性 题集C17
x
y
图
（1 ）
（2 ）
x
y
图
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，
为原点，点
在轴的正半轴上，点
在轴的正半轴上，
，
．在
边上取一点
，将纸片沿
翻折，使点
落在
边
上的点
处，边
上有一动点
（不与
，
重合）自
点沿
方向向
点匀速运动，运动的速度
为每秒个单位长度，设运动的时间为秒
，过
点作
的平行线交
于点
，过点
作
的平行线交
于点
．
直接写出
，
两点的坐标，
（ ），
（ ），直接判断四边形
的形
状为 ．
当为何值时，四边形
是正方形．
当为何值时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
; 矩形
当
时，四边形
是正方形．
当
或
时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，相应
点的
坐标为
或
．
依题意可知，折痕
是四边形
的对称轴，
∵在
中，
，
，
，
∴
，
∴
点坐标为
，
在
中，
，
又∵
，
2
（2 ）
x
y
图
（3 ）
∴
，
解得：
．
∴
点坐标为
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形．
又∵
，
∴四边形
为矩形；
故答案为：
，
，矩形．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
又∵
，
，
，
∴
，
当
时，四边形
是正方形，
即
，
解得：
，
当
时，四边形
是正方形．
（Ⅰ）若以
为等腰三角形的底，则
（如图①）
在
中，
，
∵
，
∴
为
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
为
的中点，
过点
作
，垂足为
，则
是
的中位线，
∴
，
，
∴当
时，
，
为等腰三角形，
此时
点坐标为
；
（Ⅱ）若以
为等腰三角形的腰，则
（如图②）
3
x
y
图
【标注】
在
中，
，
过点
作
，垂足为
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴当
时，
，此时
点坐标为
；
（Ⅲ）根据图形可知
的情况不成立，
综合综上所述，当
或
时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，相
应
点的坐标为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片
，已知
，
，
，其中
为常数且
，点
是
边上的动点（与点
、
不重合）．现将
沿
翻折，得到
；再在
边上选取适当的点
，将
沿
翻折，得到
，并使直线
、
重合．
图
设
，
，求关于的函数关系式，并求的最大值（用含
的代数式表示）．
当
时，若翻折后点
落在
边上（如图），求过
、
、
三点的抛物线的解析式．
4
图
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
在（）的情况下，在该抛物线上是否存在点
，使
是以
为直角边的直角三角形？
若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
时，取得最大值
．
．
点
的坐标为
或
．
由题，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
，
，
∵翻折的性质，
∴
，
又∵
，
∴
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
时，取得最大值
．
由题
，
，
易得
和
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴可设过
、
、
的抛物线为
，
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（3 ）
【标注】
∵过点
和
，
∴解得
，
，
∴
．
由题可知
，∴
符合题意，
∵
，
，
∴
，
与抛物线
解析式联立求得
综上：
点的坐标是
或
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在等腰直角
中，
，
，点
是
边上一点，
且角的两边分别与边
，射线
交于点
，
．
图
如图，若点
为
中点，将
绕着点
逆时针旋转，
与边
交于点
，
与
的延长线交于点
．设
为，
为，试求与的函数关系式，并写出自变量的取值范
围．
图
如图，点
在边
上沿
到
的方向运动（不与
，
重合），且
始终经过点
，
与
边
交于
点．探究：在
运动过程中，
能否构成等腰三角形，若能，求出
的长；若不能，请说明理由．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，自变量的取值范围是
．
在
运动过程中，
能成等腰三角形，此时
的长为
或
．
∵
，
，
∴
，
．
又∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
设
为，
为，
∴
．
∴
．
∴自变量的取值范围是
．
∵
，且
，
∴
．
∴
．
当
时，可证
≌
．
∴
．
∴
．
当
时，可知
．
∴
．
∴点
是
的中点．
∴
综上，在
运动过程中，
能成等腰三角形，此时
的长为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
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