文档文本内容
1
相似【章节复习】压轴题-三垂直与相似存在性 题集
C16
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，
是轴上的一个动点，
是线段
的中点．把
线段
进行以
为旋转中心、向顺时针方向旋转
的旋转变换得到
．过
作轴的垂线、过点
作轴的垂线，两直线交于点
，直线
交轴于一点
．设
点的横坐标为．
若
，则点
的坐标为 ，若
，则点
的坐标为 ．
若
，
的面积为，则为何值时，
．
是否存在，使得以
、
、
为顶点的三角形与
相似？若存在，求此时的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，
，
．
存在，
，
，
，
∵
的坐标为
，
或
，
∴由勾股定理得：
，
∵
且相似比为
，
，
，
∴
，
，
∴点
的坐标为
或
．
①当
时，如图（）
2
（3 ）
图（）
且相似比为
，
求得点
的坐标为
，
∴
，
解得
或，
②当
时，如图（），
图（）
，
解得
或
（舍去），
∴
，
，
．
①当
时，如图（），
图（）
若
，
∴
即：
，
∴无解，
若
，同理，解得
或
（不合题意舍去），
②当
时，如图（），
3
图（）
若
，
∴
即：
，
解得
，取
，
若
，同理，解得无解，
③当
时，如图（），
图（）
若
，
∴
即：
，
解得
（不合题意舍去）或
，
若
，同理，解得无解，
④当
时，如图（），若
，
图（）
∴
即：
，则无解，
若
，同理，解得
（不合题意舍去）或
（不合
题意舍去），
则
，
，
．
4
【标注】【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，
是轴上一动点，
是线段
的中点．把线
段
绕点
按顺时针方向旋转
，得到线段
，过点
作轴的垂线，过点
作轴的垂线，两直
线交于点
，直线
交轴于点
．
若
，则点
的坐标为 ，若
，则点
的坐标为 ．
若
，当为何值时，
的面积等于？
是否存在，使得以
、
、
为顶点的三角形与
相似？若存在，求此时的值；若不存
在，请说明理由．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
当
或
或
时，
的面积等于．
存在
或
或
，使得以
、
、
为顶点的三角形与
相似．
，
．
①当
时，如图，
∵
，
5
（3 ）
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
．
∴
，
，
∴
，
∴
，
解得
或
．
②当
时，如图，
，
解得
或
（舍去），
∴当
或
或
时，
的面积等于．
①当
时，如图，
若
，则
，即
，无实数解．
若
，
同理，解得
（舍去）或
．
②当
时，如图，
6
若
，则
，
即
，
解得
（舍去）或
，
若
，同理，无实数解．
③当
时，如图，
若
，则
，
即
，
或
（舍去）．
若
，同理，无实数解．
④当
时，如图，
，则
，
即
，无实数解．
若
，同理，解得
（舍去）或
（舍去）．
7
【标注】
∴存在
或
或
，使得以
、
、
为顶点的三角形与
相似．
【知识点】象限内坐标的特征
【知识点】二次函数与全等三角形结合
【知识点】二次函数与面积
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
【知识点】相似三角形与实际问题
【知识点】相似三角形的性质
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【思想】分类讨论思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，点
为矩形
的对称中心，
，
，点
、
、
分别从
、
、
三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，当点
到达点
（即点
与点
重合）时，三个点随之停止运
动．在运动过程中，
关于直线
的对称图形是
．设点
、
、
运动的时间为（单
位：）．
当
时，四边形
为正方形．
若以点
、
、
为顶点的三角形与以点
，
，
为顶点的三角形相似，求的值．
是否存在实数，使得点
与点
重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
备用图
【答案】（1 ）
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
当
或
时，以点
、
、
为顶点的三角形与以点
，
，
为顶点的三角形相似．
不存在实数，使得点
与点
重合．
当四边形
为正方形时，
，
为等腰直角三角形．
此时
，
，
即
，解得
．
分两种情况，讨论如下：
①若
，
则有
，即
，
解得：
；
②若
，
则有
，即
，解得：
（不合题意，舍去）
或
．
∴当
或
时，以点
、
、
为顶点的三角形与以点
，
，
为
顶点的三角形相似．
假设存在实数，使得点
与点
重合．
如图，过点
作
于点
，
则在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即：
，解得：
；
过点
作
于点
，
则在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即：
，解得：
．
∵
，
∴不存在实数，使得点
与点
重合．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
