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相似【章节复习】压轴题-三等角与动点 题集C19
图
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
在
中，
，
，点
在
所在的直线上运动，
（
，
，
按逆时针方向）．
如图，若点
在线段
上运动，
交
于
．
①求证：
；
②当
是等腰三角形时，求
的长．
①如图，若点
在
的延长线上运动，
的反向延长线与
的延长线相交于点
，是否
存在点
，使
是等腰三角形？若存在，写出所有点
的位置；若不存在，请简要说明
理由；
②如图，若点
在
的反向延长线上运动，是否存在点
，使
是等腰三角形？若存
在，写出所有点
的位置；若不存在，请简要说明理由．
图
图
【答案】（1 ）
（2 ）
①证明见解析．
②分三种情况：
（ⅰ）当
时，
．
（ⅱ）当
时，
．
（ⅲ）当
时，
．
①存在（只有一种情况）．
．
②不存在．
①“一线三等角”相似模型可证；
②分三种情况讨论：当
，
；
当
，
与
重合，
；
2
（2 ）
【标注】
当
时，此时
≌
，
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的判定-两边对应成比例及其夹角相等
【知识点】一线三等角相似
【思想】分类讨论思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 探究下列问题：
如图，在等边
中，点
是边
上的任意一点（不含端点
、
），连结
，以
为边作等边
，连结
．求证：
．
图
如图，在等边
中，点
是边
延长线上的任意一点（不含端点
），其它条件不
变，（）中结论
还成立吗？请说明理由．
图
如图，在等腰
中，
，点
是边
上的任意一点（不含端点
、
），连
结
，以
为边作等腰
，使顶角
．连结
．试探究
与
的数量关系，并说明理由．
图
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
（
），
∴
．
结论
仍成立．
理由如下：∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
（
），
∴
．
．
理由如下：∵
，
，顶角
，
∴底角
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
3. 在等边
中，
是边
上的一个动点（不与点
，
重合），
，
交
外角平分线
于点
．
如图，当点
是
的中点时，请你补全图形，直接写出
的值，并判断
与
的数量
关系．
4
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当点
不是
的中点时，请你在图中补全图形，判断此时
与
的数量关系，并证明你的
结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
与
的数量关系为
．
．
补全图如图所示：
，
．
与
的数量关系为
．
连接
，
与
交于点
．
∵在等边
中，
是它的外角平分线．
∴
，
∵
，
∴
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
为等边三角形．
5
【标注】
∴
．
【知识点】相似与角平分线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
等边
边长为，
为
边上一点，
，且
、
分别与边
、
交于点
、
．
如图，当点
为
的三等分点，且
时，判断
的形状．
图（）
如图，若点
在
边上运动，且保持
，设
，四边形
面积为，求
与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
图（）
如图，若点
在
边上运动，且
绕点
旋转，当
时，求
的长．
图（）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
为等边三角形．
，自变量的取值范围为
．
的长为或
．
为等边三角形．
设
，则
．
6
（3 ）
【标注】
由题意可
的面积为
．
的面积为
．
的面积为
．
设四边形
的面积为，
∴
．
自变量的取值范围为
．
可证
．
∴
．
设
，
则
．
解得
，
．
∴
的长为或
．
【知识点】相似三角形中的动点问题
