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1
相似【章节复习】压轴题-三等角与动点 题集C20
图
图
图
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板
、
进行探究活动，使点
落在线段
的中点处并使
过点
（如图），然后将其绕点
顺时针旋转，直至点
落在
的延长线上时结束操作，在此过程中，线段
与
或其延长线交于点
，线段
与
相交于点
（如图，）．
在图中，求证：
．
在图中，求证：
平分
．
请回答下列各题．
在图中，
仍平分
吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由；
在以上操作过程中，若设
，
，
的面积为，请求出与
的函数关系式，并直接写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
平分，证明见解析．
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵点
是线段
的中点，
∴
，
2
1
2
（3 ）
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
平分
．
仍平分
，
理由如下：
∵同（）可得
，
同（）可得，
，
∴
，
∴
仍平分
；
如图，过点
作
于点
，
于点
，
图
由①知线段
平分
，
∴
，
∵
，点
是线段
的中点，
，
∴
，
∵
，
∴
，
对于图的情况同理可得
，
当
时，
是等腰三角形，则
也是等腰三角形，
，
则
，
是等腰直角三角形，则
；
当
在
的延长线上时，作
于点
，
3
【标注】
图
设
，则
，
则
，即
，
解得
或
（舍去），
则
，
∵
，
∴
，即
，
解得
，
综上所述，
，其中
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知：
，点
在射线
上，
（如图）．
为直线
上一动点，以
为边
作等边三角形
（点
，
，
按顺时针排列），
是
的外心．
备用图
当点
在射线
上运动时，求证：点
在
的平分线上．
当点
在射线
上运动（点
与点
不重合）时，
与
交于点
，设
，
，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．
若点
在射线
上，
，圆为
的内切圆．当
的边
或
与圆相
切时，请直接写出点
与点
的距离．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，
．
或
或
．
如图，连接
，
．
4
图
图
（2 ）
（3 ）
∵
是等边三角形
的外心，
∴圆心角
．
当
，不垂直于
时，作
，则
．
由
，
且
，
，
∴
．∴
．
∴
≌
．∴
．
∴点
在
的平分线上．
当
时，
．
即
，∴点
在圆的平分线上．
综上所述，当点
在射线
上运动时，
点
在
的平分线上．
如图，
∵
平分
，且
，
∴
．
由（1）知，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
∴
．∴
．
定义域为：
．
①如图，当
与圆相切时，
；
②如图，当
与圆相切时，
；
③如图，当
与圆相切时，
．
图
图
图
5
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在等边
中，
，点
为
的中点，点
是
边上一动点，
，且
的两边分别与
的边
，
交于点
，
（点
不与点
，
重合）．
当
时，请在图中补全图形．
在图中，设
的长为，
的长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
如图，点
，
分别为
，
的中点，在
上截取
，连接
，
．请证明
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
证明见解析．
如图．
∵
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
6
（3 ）
【标注】
∴
，
∵
，则
，
∵
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
、
、
为
、
、
的中点，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
