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1
旋转【章节复习】压轴题 函数与旋转 题集C6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形
的顶点坐标分别为
，
，
，将矩形
绕点
按顺时针方向旋转度得到矩形
，此时直线
、直线
分别与直线
相交
于点
、
．
x
y
O
图
求证：
．
如图，当矩形
的顶点
落在轴正半轴时，求
的值．
x
y
O
图
在矩形
旋转过程中，当
时，是否存在这样的点
和
，使
？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
O
图（备用图）
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
（3 ）点
的坐标是
或
．
如图，作
于点
，
于点
，
x
y
O
∵点
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
∵
，
∴
，
∴
∴
如图，在
和
中，
x
y
O
，
∴
，
∴
．
即
．
解得
，
∴
，
在
和
中，
3
（3 ）
，
∴
，
∴
∵
，
∴
解得
，
∴
，
∴
．
存在这样的点
和点
，使
．
过点
作
于点
，连接
，则
，
∵
，
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
．
①如图，当点
在点
左侧时，
x
y
O
，
，
在
中，由勾股定理可得，
解得
或
，
∵
，
∴
不符合题意，
∴
∴
，
∴
．
4
【标注】
②如图，当点
在点
右侧时，
x
y
O
，
，
在
中由勾股定理可得，
，解得
，
∴
∴
综上，可得存在这样的点
和点
，使
，点
的坐标是
或
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，抛物线
(其中
)与其对称轴相交于点
．与轴相交于点
连接并延长
、
，与轴、抛物线分别相交于点
、
，连接
将
绕点
逆时
针旋转，使点
落在抛物线上，设点
、
的对应点分别是点
和
．
当
时，该抛物线的解析式为： ．
求证：
．
试问：
是否存在最小值？若存在，求此时实数
的值，若不存在，请说明
理由．
【答案】（1 ）
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
存在，
．
把点
的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：
，
则二次函数的表达式为：
①，
则点
的坐标为
，点
的坐标为
，
把
代入①式，整理得：
，
故答案为：
．
把点
、
的坐标代入一次函数表达式：
得：
，解得：
，
则直线
的表达式为：
，
令
，解得：
，即点
坐标为
，
同理直线
的表达式为：
②，
将①②联立得：
，其中
，
该方程的常数项为：
，
由韦达定理得：
，
其中
，
则
，
∴
轴，
∴
．
如图当点
落在
所在的直线时，
存在最小值，
设：直线与轴的交点为
点，连接
、
，
∵点
关于的对称点为
，
∴
，而
，∴
，∴
，
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【标注】
∵
，
由
旋转而得，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
而
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，
将
，
，
，
代入上式并解得：
（负值已舍去）．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
3. 如图所示，在平面直角坐标系中，点
，
．
如图，
绕点
逆时针旋转
得到
．
①直接写出点
的坐标；②点
，连接
交
于点
，求点
的坐标．
如图，点
，
绕点
顺时针旋转得到
，
恰好落在
上，求
的
长．
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（1 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
①
．
②点
坐标为
．
．
①
，
∵旋转角为
，
∴
，
∵
，
∴
，
过
作
轴于点
，
在
中，
，
，
∴
，
，
∴
．
②∵
，
如图，过点
作
轴于点
，
在
中，
，
，
，
∴
，
，
∴点
．
8
（2 ）
【标注】
设线段
、
所在直线的解析式为
，
则
解得
，
，
∴点
坐标为
．
如图，过点
作
于
，
中，
，
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
．
【知识点】旋转类相似
4. 如图，分别以矩形
的两边
和
所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，
点的坐
标为
，
点的坐标为
，将矩形
绕
点逆时针旋转，使
点落在轴的正半轴上，旋
转后的矩形为
，
、
相交于点
．
图
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求点
的坐标与线段
的长．
将图的矩形
沿轴向上平移，如图，矩形
是平移过程中的某一位置，
，
相交于点
，点
运动到
点停止．设点
运动的距离为，矩形
与矩
形
重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
自变量的取值范围为
时，
，
当自变量的取值范围为
时，
∴
．
如图，∵
，
∴点
的坐标为
，
∵
，
∴
，
∴
．
在矩形
沿轴向上平移到
点与
点重合的过程中，点
运动到矩形
的边
上时，
重叠部分的面积为
的面积，
，
∵
，
根据勾股定理得：
，即
，
∴
点移动的距离
，
当自变量的取值范围为
时，
如图，由
，
得
，
此时，
，
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【标注】
即
，
当自变量的取值范围为
时，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
