文档文本内容
1
相似三角形与对角互补问题 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
已知
为等边三角形，
为
上一点，
于
，
于
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
于
，
于
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 如图，在
中，
，
，直角
的顶点
在
上，
、
分别交
、
于点
、
，
绕点
任意旋转．当
时，
的值为 ；
当
时，
的值为 ．（用含的式子表示）
2
【解析】
【标注】
【答案】
；
．
∵
，
，
∴
．
过
作
，
，
∴
．
∵
，且
，
∴
．
∴
．
同理当
时，
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，在
中，点
为
边的中点，以点
为顶点的
的两边分别与边
，
交于点
，
，且
与
互补．
如图，若
，且
，则线段
与
有何数量关系？请直接写出结论．
如图，若
，那么（）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
如图，若
，探索线段
与
的数量关系，并证明你的结论．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
成立，证明见解析．
，证明见解析．
结论：
．
依然成立．
过点
作
于
，作
于
，连接
，
则
．
∵
，点
为
中点，
∴
平分
．
∴
．
∵在四边形
中，
．
∴
，
又∵
与
互补，
∴
，
∴
，
∴
≌
（
）．
∴
．
结论
．
过点
作
于
，作
于
，连接
，
同（）可证
，
又∵
，
4
【标注】
∴
．
∴
．
∵点
为
的中点，
∴
．
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4. 在
中，
，
，
为
的中点，点
在线段
上，点
在直线
上，
．
如图，若点
与点
重合，点
在
的延长线上，则此时
．
图
若点
在线段
上运动，点
在线段
上随之运动（如图），请猜想在此过程中
的值
是否发生改变．若不变，请求出
的值；若改变，请说明理由．
图
5
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
在（）的条件下，在线段
上取一点
，在线段
的延长线上取一点
，其中
，请问为何值时，恒有
．请在图中补全图形，直接写出符合题意的值，并
以此为条件，证明
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
的值不变，恒为
．
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
猜想：在此过程中，
的值不变．
过点
作
交
的延长线于点
．
图
∴
，即
，
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
∴
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
，
6
（3 ）
【标注】
∴
，
∴在此过程中，
的值不变，恒为
．
图
由（）得
，
∵四边形
中，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
（2 ）
5. 已知矩形
，
，
，点
是线段
的中点，点
是线段
上的一个动点（点
可以和点
、
重合），过点
作线段
的垂线
，交矩形的边
于点
．
如图，若
，求
的值．
图
如图，若
，点
是线段
上另一动点（不与点
重合），过点
作线段
的垂线
交边
于点
，求
的值．
7
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，点
关于直线
的对称点为点
，当点
和点
重合时，点
到直线
的距离等于
，请你直接写出
的值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
过
作
于
，
∵四边形
为矩形，
为
中点，
∴
，
，
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
而
，
而
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
过
作
于
，
8
（3 ）
【标注】
仿照（）可得
，
，
同理：
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
作
于
，
作
于
，
当证
≌
，
，
∴
，
，
而
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】旋转类相似
6. 如图，在
中，
，
，
为
的中点，
，
交
于点
，
经过点
．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
求
的度数
如图，将图中的
绕点
顺时针方向旋转角（
），旋转过程中的任意
两个位置分别记为
，
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，求
的值．
图
若图中
（
），（）中的其余条件不变，判断
的值是否为定
值，如果是，请直接写出这个值（用含的式子表示）；如果不是，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
是定值，值为
．
∵
，
为
的中点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
10
（3 ）
【标注】
∴
，
同理
，
∴
，
过点
分别做
于
，
于
，
可知
，
分别为
和
的高，
∴
，
∵
于
，
于
，
∴
．
又∵
为
中点，
∴
为
中点．
∵
，
∴四边形
为矩形有
，
在
中，
．
即
．
是定值，值为
．
∵
，四边形
为矩形有
，
∴
中，
，
∴
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
7. 如图，在
中，
，
，
为
的中点，
，
交
于点
，
经过点
．
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求
的度数．
如图，将图中的
绕点
顺时针方向旋转角
，旋转过程中的任意两
个位置分别记为
，
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，
交直线
于点
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
为
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理
，
∴
，
过点
分别做
于
，
于
，
可以知道
，
分别为
和
的高，
∴
，
∵
于
，
于
，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
为
中点，
∵
，
∴四边形
为矩形有
，
中，
．
12
【标注】
即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形
和
放在一起，
为公共顶点，
，它们的斜边长为，若
固定不动，
绕点
旋转，
，
与边
的交点分别为
、
（点
不与点
重合，点
不与点
重合），设
，
．
求证：
．
求
与的函数关系式，直接写出变量的取值范围．
在旋转过程中，试判断等式
是否始终成立，若成立，请证明．若不成
立，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，自变量取值范围为
．
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）成立．
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，自变量取值范围为
．
成立．
如图将
绕点
顺时针旋转
至
的位置，
则
，
，
，
旋转角
，连接
，
在
和
中，
∵
，
，
，
∴
≌
，
．
又
，
∴
，
即
．
【知识点】勾股定理与全等
