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1
相似动点问题 题集【B】求函数关系
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：如图，在
中，
，
，点
是
边上的一个动点（不与
、
点重合），
．
求证：
．
设
，
，求与的函数关系式．
当
时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
2
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
．
将
代入
，
，
，
，
解得：
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知：如图，
中，
，
，点
是
边上一个动点（不与
、
点
重合），
．
求证：
．
设
，
，求关于的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
当点
在线段
的什么位置时，
的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多
少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
（
）
时，
的最短长度是
．
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
．
由（）得
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
（
）．
∵
，
∴当
时，有最小值为
，
即
时，
的最短长度是
．
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，射线
，
，点
、
分别在
、
上运动（点
不与
重合、
点
不与
重合），
是
边上的动点（点
不与
、
重合），在运动过程中始终保持
．
求证：
∽
．
若
，
为
中点，其余条件不变，设
，
，求关于的函数表达
式．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
4
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
∽
．
过
作
于
，
∵
，
∴四边形
是矩形．
∴
，
．
∵
为
中点，
∴
．
∵
∽
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
4. 如图，在
中，已知
，
，且
≌
，将
与
重合在一起，
不动，
运动，并满足：点
在边
上沿
到
的方向运动，且
始
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
终经过点
，
与
交于
点．
求证：
．
设
，
，求与的函数关系式，并求出当
最大时重叠部分的面积．
深究：在
运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出
的长，若不
能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
或
．
∵
，
∴
，
∵
≌
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
（
）．
，
．
当
时，存在最大值
，
∴
最大值为
，此时
．
∴
，
6
（3 ）
【标注】
∴
，即
．
，则
．
如图，作
．
∵
．
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，重叠部分面积为
．
能．
∵
，且
，
∴
，
∴
．
当
时，则
≌
，
∴
，
∴
．
当
，则
，
∴
，
即
，
有∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5. 已知：如图，在
中，
，
，
，
是斜边
上的一个动点，
，交边
于点
（点
与点
、
都不重合），
是射线
上一点，且
．
设
、
两点的距离为，
的面积为．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求证：
．
求关于的函数解析式，并写出它的自变量的取值范围．
当
与
相似时，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，其中
．
当
与
相似时，
的面积为
或
．
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
由
，得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，其中
．
由
，得
，
∴
．
8
【标注】
当
与
相似时，只有两种情形：
或
．
①当
时，
，
∴
，
解得
，
∴
．
②当
时，同理可得
，
∴
．
综上，当
与
相似时，
的面积为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
，点
、
分别是边
、
上的动
点，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
的长始终为．
当
时，求
的长．
当点
、
在边
、
上移动时，设
，
，求关于的函数解析式，并写出
函数的定义域．
在点
、
移动过程中，
与
能否相似，若能，求
的长；若不能，请说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
（
）．
能，
或
．
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
9
（2 ）
（3 ）
【标注】
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
当
与
重合时，
，解得
；
当
与
重合时，
；
∴
．
由（）（）可得：
，
，
∴
，
，
当
时，
，
解得：
；
当
时，
，
解得：
；
∴当
的长为
或
时，
与
相似．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
