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【平行线构造与等积变换】题集【A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，直线
，
，
为直线上两点，
，
为直线
上两点．
如果固定
，
，
，点
在直线
上移动，那么：不论点
移动到何处，总有
与
的面积相等，理由是 ．
如果
处在如图所示位置，请写出另外两对面积相等的三角形：
① ；② ．
【答案】（1 ）
（2 ）
; 同底等高
的面积与
的面积相等，根据是同底等高 ;
的面积与
的面积相等
与
的面积相等，理由是：同底等高．
略
【知识点】等积变换与“平行线”有关
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，已知直线
，点
、
、
在直线上，点
、
、
在直线上，
，若
的面积为，则
的面积为（ ）．
【答案】C
因为
与
是同底等高的两个三角形，
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【标注】
所以
与
面积相等，
故选．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
3.
【解析】
【标注】
如图，一块草地的中间有一条宽度不变的弯路，
，
，请给出一种方案，把道路
改直，且草地的种植面积保持不变．
【答案】延长
和
，即得所求新路．
由图知
，延长
和
，即得所求新路．
这时，
（都等于
），且
，
∴四边形
为平行四边形，四边形
为平行四边
形，
∴平行四边形
和平行四边形
的高相等，
∴平行四边形
和平行四边形
的面积相等，
∴道路所占面积不变，
∴草地的种植面积不变．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
4.
【解析】
如图，已知
，则
与
的大小关系是 ，
与
的大小关系
是 ．
【答案】相等 ; 相等
根据平行线间的距离相等，得到
与
同底等高，
3
【标注】
∴
，减去公共部分后，剩余面积仍相等，
∴
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，
是凸四边形
的对角线交点，
在
边上，
，则图中与
面积
相等的三角形的个数是（ ）．
【答案】A
如图，∵
，
∴
，
即
，
∴
．
即图中与
面积相等的三角形只有
．
故选
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
6.
【解析】
如图，
、
是直线
上两个定点，
是直线上一个动点，且
，以下说法:①
的周长不
变；②
的面积不变；③
中，
边上的中线长不变；④
的度数不变；⑤点
到直
线
的距离不变:其中正确的有 （填序号）．
【答案】②⑤
∵当点
运动时，
的值不固定，
4
【标注】
∴
的周长不能确定，
∴①错误．
设
到
的距离为，为恒值，
，
∴
的面积不变，故②正确．
又∵连接点
和
的中点的线段的长不确定，
∴③错误．
又∵当点
运动时，
∴
大小不确定，
∴④错误．
又∵
，
∴点
到直线
的距离不变，
∴⑤正确．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
7.
方法一：
方法二：
【解析】
已知，正方形
的边长为，正方形
的边长为，且点
、
、
在一条直线上．连接
、
、
，求
．
【答案】
．
用“等积変换”方法．
如图，连接
，易证
．
根据“平行线间的距离处处相等”可知
和
同底（
）等高，
∴
．
如图，“补”成矩形
，得
．
矩形
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方法三：
【标注】
如图，连接
，把
“割”成三部分，得
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
8.
【解析】
【标注】
如图，五边形
是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变为图
，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图中的折线
）还保留着，张大爷想过点
修一条直
路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积和承包时的一样多，请你用有关几何知识，按张大爷
的要求设计出修路方案．
图
图
【答案】答案见解析．
如图3，
图
（）连接
，
（）过点
做
与
交于点
.
（）连接
，
即为所求．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
（1 ）
9. 操作与实践：
如图，已知
，过点
画一条平分三角形面积的直线．
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图
图
（2 ）
图
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图，已知
，点
、
在上，点
、
在上，求证：
．
如图，点
在
的边上，过点
画一条平分三角形面积的直线．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
证明见解析．
画图见解析．
如图，中线
所在的直线为所作；
因为点
为
的中点，
所以
，
所以
．
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（2 ）
（3 ）
【标注】
图
如图，
∵
，
∴
，
即
，
∴
．
图
如图，
作中线
，连接
，
然后过
点作
的平行线交
于
，则直线
即为所求．
图
【知识点】与中线或等分线有关的等积变换
