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1
【平行线构造与等积变换】题集【B】
1.
【解析】
【标注】
如图所示，
为
的边
上一点，求作：过点
作两条直线，将
的面积三等分．
【答案】见解析．
取
的三等分点
、
，过
、
分别作
的平行线，若点
在
、
之间，
则平行线交
于
，交
于
，
如图所示，直线
、
即为所求，
∵
，
∴
，
即
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
（1 ）
2. 请回答下列问题：
如图所示，
是
的边
上一点，且
，
是
的边
的中点，能否
过点
作一条直线把
分成面积相等的两部分．
2
B
C
A
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图所示，
为
的边
上一点，求作：过点
作两条直线，将
的面积三等
分．
【答案】（1 ）
（2 ）
能．
画图见解析．
连接
，
，作
交线段
于
，连接
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
（或
），
即
把
分成面积相等的两部分．
取
的三等分点
、
，过
、
分别作
的平行线，若点
在
、
之间，则平行线交
于
，交
于
，
如图所示，直线
、
即为所求，
连接
、
，
∵
，
，
四边形
四边形
3
【标注】
∴
，
，
即
，
．
∴
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 回答下列各题：
已知：如图
是
中
边的中线，则
，依据是 ．
如图梯形
中，
，对角线
、
交于点
，请找出图中三对面积相等的三
角形， ．
李明家有一块四边形田地，如图所示．
是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分
(小路宽忽略不计)．在
边上点
处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点
修一条
笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分(水渠宽忽略不计)．请你帮李明
设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．
【答案】（1 ）等底同高
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
和
；
和
；
和
是
中
边的中线，则
，依据是等底同高．
图中三对面积相等的三角形：
和
；
和
；
和
．
理由如下：过
作
于
，过
作
于
，延长
、
，
于
，过
作
于
，
∵
，
∴
（平行线间的距离相等），
∵
，
，
∴
，
∴
，
即：
，
∵
，
，
∴
．
连接
两点，过
点作
交
于
点，连接
，则直线
就是所求作的直
线．
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【标注】【知识点】平行线的性质
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
同学们知道：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行，你会利用该
定理解决问题吗？试看如下两题：
如图是一个四边形的纸片
，
是纸片上一点，请你只能通过折叠，过点
作出一条折
痕
与
平行，并作适当的文字说明．
E
作一个三角形，使它的面积等于图中四边形的纸片
的面积，并作适当的文字说明．
【答案】（1 ）
（2 ）
说明见解析．
说明见解析．
如图所示；过点
作
，再过点
作
，延长
分别交
、
于点
、
，则直线
即为所求．
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（2 ）
【标注】
E
图
连接
，过点
作
交
的延长线与点
，
∵
与
同底等高，
∴
，
∴
．
图
【知识点】等积变换与“平行线”有关
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
证明与操作．
请证明：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行．
如图是一个四边形的纸片
，
是纸片上一点，请你只能通过折叠，过点
作出一条折
痕
与
平行，并作适当的文字说明．
作一个三角形，使它的面积等于( )中四边形的纸片
的面积，并作适当的文字说明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
画图见解析．
画图见解析．
如图，
7
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
，
∴
，
∴
，即在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行．
如图所示：
过点
作
，再过点
作
，延长
分别交
、
于点
，则直线
即为所求．
如图所示：
连接
，过点
作
交
的延长线与点
，
∵
与
同底等高，
∴
，
∴
．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
四边形
6. 已知
中，
为
边上一定点，过点
作一直线，使其等分
面积．
情形：如图，若点
恰为
的中点；
情形：如图，若点
是
边上任一点．
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【解析】
【标注】
图
图
【答案】画图见解析．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 如图所示，图形的操作过程（四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）；将线
段
向右平移个单位长度到
，得到封闭图形
，如图（）所示；将折线
向右平移个单位长度到
，得到封闭图形
，如图（）所示．
（）
（）
在图（）中，请你类似地画出一条有两个折点的折线，同样向右平移个单位长度，从而得
到一个封闭图形，并画出阴影．
（）
请你分别写出上述三个阴影部分外的面积
，
，
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
联想与探索：如图（），在以矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽
度都是个单位长度），请你猜想空白部分草地面积是多少？并说明你的猜想是否正确．
草地
草地
（）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
;
;
草坪面积为
．
如图所示（答案不唯一）．
【知识点】等积变换与“平行线”有关
