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1
相似【章节复习】压轴题-三垂直与动点 题集C18
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在正方形
中，
，点
是边
上的任意一点，
是
延长线上一点，连接
，作
交
的平分线
上一点
，连接
交边
于点
．
求证：
．
设点
到点
的距离为，线段
的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取
值范围．
当点
是线段
延长线上一动点，那么（）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，
试直接写出函数关系式．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
证明：如答图，在线段
上截取
，
答图
则有
，∴
为等腰直角三角形，∴
．
∵
，
∴
，
又
，
∴
．
在
与
中，
2
（2 ）
（3 ）
，
∴
≌
，
∴
．
如答图，过点
作
于点
，则易证
≌
，
答图
∴
．
过点
作
于点
，由
为角平分线，可知
为正方形，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
．
故答案为：
．
解析式变化．理由如下：
如答图，过点
作
于点
，则易证
≌
，
答图
∴
．
过点
作
于点
，由
为角平分线，可知
为正方形，
∴
，
3
【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
．
故答案为：
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，四边形
中，
，
，
，
，点
，
是边
（与端点
、
不重合）上的两个动点且
．
求边
的长．
当
与
相似时，求
的长．
连接
与
相交于点
，设
，
的面积记为，求关于的函数关系式，并
写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
作
，则四边形
为矩形，
∵
，
；
∴在
中，
．
设
，则
，
∵
，
4
（3 ）
【标注】
当
时，
，
∴
，
∴
；
当
时，
，
∴
，
∴
，此方程无实数根，
综上所述，
．
作
于
．
可得，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
3. 在矩形
中，
，
，
是
上的任意一点（
与
、
不重合），过点
作
，垂足为
，
交
于点
．
连接
，当
与
全等时，求
的长．
5
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
若设
为，
为，试确定与的函数关系式．当取何值时，的值最大？最大值是多
少？
若
，试求出此时
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，当
时，有最大值，最大值是
．
．
∵
≌
，
，
∴
．
在
中，
．
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
即
，
∴
．
∴当
时，有最大值，最大值是
．
如图，连接
．设
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
化简得，
，
解得，
，
（不合题意，舍去），
∴当
时，
．
6
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
