文档文本内容
1
【平行线常见模型】题集【B】
1. 猪蹄、铅笔模型
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
,
,则、、的关系是（ ）．
【答案】A
如图所示，分别过
、
作
的平行线
和
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】平行线的性质
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
2. 如图，已知
，则下列式子表示
的是（ ）．
2
【解析】
【标注】
【答案】C
过点
作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
故选．
【知识点】平行线构造-拐点模型
A.
B.
C.
D.
3.
方法一：
【解析】
如图，已知
，
，
，则
与
之间满足的数量关
系是（ ）．
【答案】C
过点
作
，
∵
，
∴
．
∴
，
．
∴
，
∵
，
，
∴设
，则
，设
，则
．
∵
，
∴
．
∴
．
3
方法二：
【标注】
故选：．
点
作
，过点
作
，
∵
，
∴
．
∴
，
，
，
．
∵
，
，
∴令
，
，
则
，
．
∴
，
．
∴
，
∵
．
∴
．
∴
．
【知识点】平行线构造-拐点模型
4.
【解析】
如图，已知
，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
如图所示，分别过点
，
做
和
的平行线，
易得：
4
【标注】
，
，
即有：
．
【知识点】平行线构造-拐点模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 解答下列问题：
如图
，试说明：
．
已知：如图，
，求证：
．
已知：如图，
，
．求证：
．
【答案】（1 ）证明见解析．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图，过点
作
，
∴
，
，
∴
．
如图，过点
作
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
作
，
，
则
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即：
．
【知识点】平行线判定与性质的综合
（1 ）
（2 ）
6. 解答下列问题：
如图，
，点
在
、
外部，若
，
，则
．
如图，
，点
在
、
内部，则
，
，
之间有何数量关系？请直接
写出你的结论 ．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在（）中，将直线
绕点
按逆时针方向旋转一定角度交直线
于点
，如图，若
，
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
，证明如下：
过点
作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
延长
交
于点
，
7
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】三角形的外角定义及性质
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】平行线构造-拐点模型
【知识点】平行线的性质
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图所示，已知
，直线
交于
，交于
，直线
交于
，交于
，
平分
，
平分
．
试说明
．
若
，
，求
的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
8
（2 ）
【标注】
∴
．
如图，过点
作
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】平行线的性质
（1 ）
（2 ）
8. 如图，直线
与直线
和
分别相交于点
和点
，点
为
上一点，且
，垂足为点
，
．
图
求证：
．
如图：直线
交
于
，
平分
，
平分
，证明：
．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
过点
作
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，得证．
【知识点】平行线判定与性质的综合
9. 如图，
，在
、
内有一条折线
．
10
图
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
证明：
．
如图，已知
的平分线与
的平分线相交于点
，试探索
与
之间的
关系．
如图，已知
，
，则
与
有什么关系，说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
过点
作
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
11
（3 ）
【标注】
∵
平分
，
平分
，
又∵
，
∴
．
∵
，
，
，
又∵
，
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】平行线的性质
【知识点】角的平分线及等分线的定义
2. 扯皮筋模型
1.
【解析】
如图，已知直线
，直线和直线，交于点
和
，在
，
之间有一点
，如果
点
、
之
间运动时，问
，
，
之间的关系是否发生变化．若点
在
、
两点的外侧运动
时（
点与点
、
不重合），试探索
，
，
之间的关系又是如何？
【答案】
或
或
．
当
点在
、
之间运动时，有
，
理由是：如图，过
点做
平行，
图
则
，
，
∴可得
．
若点
点在
、
之外运动时（
点与点
、
不重合），则有两种情形：
12
【标注】
（）如图，
图
有结论：
，理由是：
过
点做
平行，
则
，
又∵
，
∴
，故有
，
又∵
，
∴可得
．
（）如图，
图
有结论：
理由是：
过
点做
平行，
则
，
∵
，可得
，
也即
，
又∵
，
∴可得
．
【知识点】平行线判定
（1 ）
2. 探究题
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
小明遇到了下面的问题：如图，
，点
在、内部，探究
，
，
的关
系．小明过点
作的平行线，可证
，
，
之间的数量关系是：
．
13
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，若
，点
在
、
外部，
，
，
的数量关系是否发生变化？
请你补全下面的证明过程． 过点
作
．
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴ ．
图
随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题： 已知：如图，三角形
，求证：
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
;
;
证明见解析
如图，过
作
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
14
（2 ）
图
（3 ）
【标注】
如图，过点
作
．
，
，
，
，
，
．
如图，过点
作
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】平行线构造-拐点模型
【知识点】平行线的性质
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
，
，
．
试求
的度数，并说明理由．
15
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
，点
在射线
上运动，记
，
，当点
在
、
两点之间运动时，问
与、之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，理由见解析．
，理由见解析．
过点
作
，
∵
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
，
理由：如图，过
作
交
于
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】平行线的性质
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【能力】推理论证能力
（1 ）
4. 已知直线
，且与，分别交于
，
两点，与，相交于
，
两点，点
在直线
上
运动．
如图，当点
在
，
两点间运动时，试探究
，
，
之间的关系，并说明理由．
16
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，
点在
处北偏东
方向，
点在
处的北偏西
方向，应用探究（）的结论求出
的度数．
北
图
如果点
在
，
两点外侧运动时，试探究
，
，
之间的关系，画出图形
并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
当点
在
、
两点间滑动时，
保持不变，
理由：过点
作
，交
于点
，
如图所示，
图
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
17
（2 ）
（3 ）
即
．
分别在
点和
点处画方位图，
如图所示：
北
图
由（）知：
，
∴
．
，
分两种情况：
①当点
在
点上方时，过点
作
，交
于点
，
如图所示．
图
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
；
②当点
在
点下方时，过点
作
，交
于点
，
如图所示：
18
【标注】
图
同理可得：
，
综上所述：
．
【知识点】平行线的性质
【知识点】平行线构造-拐点模型
【能力】推理论证能力
【思想】分类讨论思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图，已知直线
，，和，分别交于点
，
，
，
，点
在直线或上且不与点
，
，
，
重合．记
，
，
．
若点
在图（）位置时，求证：
．
（）
若点
在图（）位置时，请直接写出
，
，
，之间的关系．
（）
若点
在图（）位置时，写出
，
，
之间的关系并给予证明．
19
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
过
作
，
Q
（）
由两直线平行，内错角相等，可得：
，
，
∵
，
∴
．
关系：
，
Q
（）
过
作直线
，
则：
，
，
∵
，
∴
．
关系：
，
过
作
，
20
【标注】
（）
同（）可证得：
，
∵
，
，
∴
，
即
．
【知识点】平行线的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，已知直线
，且和、分别交于
、
两点，点
在直线
上．（
与所夹的角为
，
与所夹的角为
，
为
）
试找出
，
，
之间的关系并说明理由．
当点
在
、
两点间运动时，问
、
、
之间的关系是否发生变化？
如果点
在
、
两点外侧运动时，试探究
、
、
之间的关系．（点
和
、
不重
合，只要写出结论即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
，
，
之间的关系不发生变化．
或
．
过点
作
，如图，
21
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵直线
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
，
，
之间的关系不发生变化．
当点
在直线上方时（如备用图），过点
作直线
，
备用图
备用图
∵直线
，
∴直线
．
∴
，
．
∴
，即
．
同理：当点
在直线下方时（如备用图），可得出
．
【知识点】平行线构造-拐点模型
7. 如图，已知直线
，直线和直线、分别交于点
和
，在直线
上有一点
．
22
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如果
点在
、
之间运动时，问
、
、
之间的关系存在怎样的数量关
系？并说明理由．
若点
在
、
两点的外侧运动时（
点与点
、
不重合），试探索
、
、
之间的关系又是如何？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当
点在
、
两点的外侧运动且在上方时，
．
当
点在
、
两点的外侧运动且在下方时，
．
如图，当点
在
、
之间运动时，
．
图
理由如下：过点
作
．
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
过点
作
．
当点
在直线上方时，如图所示．
图
∵
，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
当点
在直线下方时，如图所示．
23
【标注】
图
∵
，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
【知识点】平行线判定与性质的综合
