相似常见模型值A字与8字型题集A(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第27章相似_3.专题突破

1
相似常见模型值A字与8字型 题集【A】
1. 平行线类—平行线——"A"字模型和“8”字模型
1.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，
，
，
，
，求线段
、
的长．
【答案】
，
．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
，∴
，
设
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，即
．
又∵
，∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
2. 如图，在
中，
平分
交
于点
，过点
作
交
于点
．
求证：
． 
2
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如果
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
由（）知
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
3.
【解析】
如图，在平行四边形
中，点
为
的中点，
与对角线
交于点
．求证：
．
【答案】证明见解析．
在平行四边形
中，
3
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，平行四边形
中，点
在
的延长线上，连接
，与
相交于
．
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的长为．
在平行四边形
中，
，
，
∴
，
∴
.
平行四边形
中，
，
∴
，
由（）知，
，
∴
，
4
【标注】
∴
，
∴
，
∴
的长为．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平行四边形
中，
为
边上的一点，连接
、
交于点
，
．
若
，求证：四边形
是菱形．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵在平行四边形
中，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是菱形．
∵在平行四边形
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
5
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
6.
【解析】
【标注】
如图，
中，
平分
，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】一线三等角相似
（1 ）
7. 如图，已知：四边形
是平行四边形，点
在边
的延长线上，
交
于点
，
．
求证：
．
6
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，即：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即：
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
8. 如图，
是
的角平分线，延长
至点
使得
．
7
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，
，求
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是
的角平分线，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
，
，
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
9. 如图，
是
的角平分线，延长
至
使得
．
求证：
．
若
，
，
，求
长．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
．
【知识点】相似8字型
2. 反"
"字模型和反“ ”字模型
1.
【解析】
【标注】
已知：如图，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】相似反8字型
2. 如图，已知在
中，
，
、
分别为
、
边上的点，且
，连结
，若
，
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
3. 已知：如图，在
中，
，
是
上一点，
于
，若
，
，
．
求证：
．
10
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
于
，
∴
．
又∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
、
分别是边
、
上的点，连接
，且
．
求证：
．
如果
是
的中点，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
．
由（）知
，
∴
，
∵点
是
的中点，设
，
∴
，
11
【标注】
∵
，
，
∴
，
解得：
（负值舍去）．
∴
．
【知识点】相似反A字型