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1
相似常见模型值A字与8字型 题集【B】
1. 平行线类—平行线——"A"字模型和“8”字模型
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，矩形
中，
，
，点
在对角线
上，且
，连接
并延
长交
于点
．
求
的长．
求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵四边形
是矩形，
∴
，
又
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
，
2
（2 ）
【标注】
，
．
∵
，
∴
，
,
即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2.
【解析】
【标注】
如图，
，
，
，
，
，
交于点
．求
的值．
【答案】
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
在
中，
，
，
，
∴
．
在
中，
，
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】相似8字型
3
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在平行四边形
中，点
在边
上，点
在边
的延长线上，且
，
与
交于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵在平行四边形
中，
，
∴
， 又∵
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
∵在平行四边形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】相似8字型
4. 如图，在平行四边形
中，对角线
、
交于点
，过点
作
，交
延长线于点
，交
于点
，若
，
，
．求
的长．
4
方法一：
方法二：
【解析】
【答案】
．
∵平行四边形
，
∴
，
．
∵
，
∴
．
∵
于
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
过
作
，交
于点
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
是
中点，
∴
是
中点．
设
，则
．
∴
．
解得
．
∴
．
延长
交
于
．
由
≌
可知，
5
【标注】
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
由方法一的方法，可求
．
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，在
中，
，
，点
是
的中点，连接
，过点
作
，分别交
，
于点
，
，与过点
且垂直于
的直线相交于点
，连接
，给出
以下五个结论：
①
；②
；③点
是
的中点；④
；⑤
，其中正确结论有（ ）个．
【答案】B
①由题得
．
∴
．
∴
．
又∵
．
∴
．
故①正确．
②∵
，
．
∴
．
6
∴
和
中
．
∴
≌
．
∴
．
又∵
为
中点，即
．
∴
．
∵
．
∴
．
又∵
，即
．
∴
．
∴
和
中
．
∴
≌
．
∴
．
又∵
．
∴
．
故②正确．
③
中，
．
又由②得
．
∴
，即
不是
中点．
故③错误．
⑤∵
为
中点．
∴
，
．
又∵
≌
．
∴
．
∵
．
又∵
．
∴
，即
．
∴
．
故⑤错误．
④∵
且
．
∴
即
．
又∵
．
7
【标注】
∴
即
．
故④正确．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
6.
【解析】
【标注】
如图，延长
的边
到点
，使
，取
的中点
，连接
交
于点
．求
的值．
【答案】
．
取
的中点
，则
，连接
，
又∵
为
的中点，
∴
，且
，
即
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
设
，那么
，
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，即
．
【知识点】相似A字型
7.
8
【解析】
【标注】
如图，在
中，
是
的中点，
是
上一点，且
，连接
并延长，交
的延长线于
，则
．
【答案】
如图，过
作
，
∵
为
中点，
∴易证
≌
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
8. 如图，在平面内
的正方形网格中，每个小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积
为 ．
9
【解析】
【标注】
【答案】
如图，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
同理
，
∴ 阴影部分的面积为
．
【知识点】网格中的三角形相似
2. 反"
"字模型和反“ ”字模型
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
为
上一点，且点
不与点
重合，过
作
交
边
于点
，点
不与点
重合，若
，
，设
的长为，四边形
周长为．
求证：
．
写出与的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
与的函数关系式为：
（
）．图象见解析．
∵
，
∴
．
10
（2 ）
【标注】
又∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
，
由（）可知，
，
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
．
过点
作
于
，依题意可得：
，
∴
．
∴
．
解得：
，
∴
（当
时不能构成四边形
），
∴与的函数关系式为：
（
），与的函数图象如图．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 如图，在
中，
、
分别是
、
边上的点，
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
在
和
中，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
