文档文本内容
1
【旋转费马点的应用】题集【A】
图
（1 ）
图
A.
B.
C.
（2 ）
图
（3 ）
1. 回答下列问题：
如图，
和
都是等边三角形，且
、
、
三点共线，连结
、
相交于点
，求证：
．
如图，在
中，
，分别以
、
和
为边在
外部作等边三
角形
、等边三角形
和等边三角形
，连结
、
和
交于点
，下列结论
中正确的是 ．（只填序号即可）
如图，在（）的条件下，求证：
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
ABC
证明见解析．
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
．
∴
．
三个结论都正确．
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）
∴
，
．
∴B选项正确．
同理
≌
，
∴
，
∴
．
∴A选项正确．
∵
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
同理
，即
．
∴C选项正确．
在
上截取
，连结
，
由（）可知，
≌
，
3
【标注】
∴
．
设
与
交于点
，在
和
中，
∵
，
，
∴
，
同理
，
∴
是等边三角形．
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
∴
，即
．
【知识点】等边三角形与全等
2.
【解析】
如图，
中，
，求证：点
为
的费马点．
【答案】证明见解析．
如图，在
中，有一点
，
延长
至
，使得
，
作
，并且使得
，
连接
．则
≌
，
4
【标注】
∵
，
∴
，
在等腰
中，
，
∴
，
∴点
为
的费马点．
【知识点】费马点
3.
【解析】
如图（），
为
所在平面上一点，且
，则点
叫做
的费马点．如图（），在锐角
外侧作等边
连接
．
求证：
过
的费马点
，且
．
图
图
【答案】证明见解析．
在
上取点
，使
，
连接
，再在
上截取
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
为正三角形，
∴
，
，
，
5
【标注】
∵
为正三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
为
的费马点，
∴
过
的费马点
，且
．
【知识点】费马点
（1 ）
（2 ）
4. 【背景资料】
在已知
所在平面上求一点
，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数
学家费马
年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图，等边
内有一点
，若点
到顶点
、
、
的距离分别为，，，求
的
度数．为了解决本题，我们可以将
绕顶点
旋转到
处，此时
≌
，这样就可以利用旋转变换，将三条线段
，
，
转化到一个三角形中，从而
求出
．
【基本运用】
请你利用第（）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，
中，
，
，
，
为
上的点，且
，判断
，
，
之间的数量关系并
证明．
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（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【能力提升】
如图，在
中，
，
，
，点
为
的费马
点，连接
，
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
∵
≌
，
∴
、
、
，
由题意知旋转角
，
∴
为等边三角形，
，
，
易证
为直角三角形，且
，
∴
；
故答案为：
．
，理由如下：
如图，把
绕点
逆时针旋转
得到
，
由旋转的性质得，
，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
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（3 ）
【标注】
∴
，
∵
，
，
∴
，∴
，
由勾股定理得，
，即
．
如图，将
绕点
顺时针旋转
至
处，
连接
，
∵在
中，
，
，
，
∴
，∴
，
∵
绕点
顺时针方向旋转
，
∴
如图所示；
，
∵
，
，
，∴
，
∵
绕点
顺时针方向旋转
，得到
，
∴
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共线，
在
中，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】费马点
5. 小明遇到这样一个问题：如图，正方形
是正方形，点
对角线
上任意一点，连接
、
．当
的最小值为
时，求正方形的边长．
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1
2
（1 ）
（2 ）
1
（1 ）
【解析】
小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点
为旋转中心将
逆时针旋转
得到
，连接
，此题可解，如图．
请你回答：
当点
在何处时，
的值最小，并说明理由．
当
的最小值为
时，求正方形的边长．
参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，在
中，
，
．点
为
内一点，连接
，
，
，求
的最小值．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
当
点位于
与
的交点处时
的值最小，即等于
的
长．
正方形的边长为
．
易证，
≌
．
∴
．
∵
，
，
∴
是等边三角形．
∴
．
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2
（2 ）
【标注】
∴
．
根据“两点之间线段最短”，得
最短，
∴当
点位于
与
的交点处时
的值最小，即等于
的长．
过
点作
交
的延长线于
∴
设正方形的边长为，则
，
，
在
中，
∵
，
∴
，
解得，
（舍去负值），
∴正方形的边长为
．
【知识点】动点与线段-无数轴
