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1
【旋转费马点的应用】题集【B】
（1 ）
图
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图，
中，
，
，
，在
内部
有一点
，连接
、
、
，求
的最小值．
图
图
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再
将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以
求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这
个问题．他的做法是，如图，将
绕点
顺时针旋转
，得到
，连接
、
，则
的长即为所求．
请你写出图中，
的最小值为 ．
参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图，菱形
中，
，在菱形
内部有一点
，请在图中画出并
指明长度等于
最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形
的边长为，请直接写出当
值最小时
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）①
，画图见解析．
②
．
如图．∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
2
（2 ）
【标注】
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
即
的最小值为
．
①如图，
；
②如图，当
、
、
、
四点共线时，
值最
小，最小值为
．
∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
．
∵菱形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∴
．
连接
，交
于点
，则
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
即当
值最小时
的长为
．
故答案为：
．
．
【知识点】菱形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】勾股定理
3
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
若点
为
所在平面上一点，且
， 则点
叫做
的
费马点．
若
为锐角
的费马点，且
，
，
， 则
的值
为 ．
如图，在锐角
的外侧作等边
，连结
．求证：
过
的费马点
，
且
．
【答案】（1 ）
（2 ）证明见解析．
∵
，
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
设点
为锐角
的费马点，
即
，
如图，把
绕点
顺时针旋转
到
，
4
【标注】
连结
，则
为正三角形．
∵
，
，
∴
，
即
、
、
三点在同一直线上
∵
，
，
∴
，
即
、
、
三点在同一直线上
∴
、
、
、
四点在同一直线上，即
过
的费马点
．
又
，
，
∴
．
【知识点】费马点
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
3. 如图
，
为
所在平面上一点，且
，则点
叫做
的费马点．
图
若点
是等边三角形三条中线的交点，点
（填是或不是）该三角形的费马点．
如果点
为锐角
的费马点，且
．求证：
．
已知锐角
，分别以
、
为边向外作正
和正
，
和
相交于
点．如图
．
图
求
的度数．
5
2
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
求证：
点为
的费马点．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
是
证明见解析．
．
证明见解析．
如图所示：
图
∵
，
是
的中线，
∴
平分
．
同理：
平分
，
平分
．
∵
为等边三角形，
∴
，
．
∴
．
同理：
，
．
∴
是
的费马点．
故答案为：是．
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
如图所示：
图
∵
与
都为等边三角形，
6
2
【标注】
∴
，
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
点为
的费马点．
【知识点】费马点
4.
【解析】
已知
是
内一点，
；
是
内任一点，
求证：
．（
为费马点）
【答案】证明见解析．
以
为旋转中心，
为旋转角，将点
、
、
分别旋转到点
、
、
，连接
、
．
则
、
都是正三角形．
∴
，
．
显然
≌
，
≌
．
7
【标注】
由于
，
∴
，
，
，
四点共线．
∴
，即
．
【知识点】费马点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
问题的提出：如果点
是锐角
内一动点，如何确定一个位置，使点
到
的三顶点的距
离之和
的值为最小．
问题的转化：把
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，这样就把确定
的最小值的问题转化成确定
的最小值的问题了，请你利
用图证明：
．
问题的解决：当点
到锐角
的三顶点的距离之和
的值为最小时，求
和
的度数．
问题的延伸：如图是有一个锐角为
的直角三角形，如果斜边为，点
是这个三角形内一
动点，请你利用以上方法，求点
到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
如图，由旋转得：
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
8
（2 ）
（3 ）
∵
，
∴
．
如图，把
绕点
逆时针旋转
度得到
，连接
，
由“问题的转化”可知：当
、
、
、
在同一直线上时，
的值为最
小，
∵
，
，
∴
，
∴
、
、
在同一直线上，
由旋转得：
，
∵
，
∴
，
∴
、
、
在同一直线上，
∴
、
、
、
在同一直线上，
∴此时
的值为最小，
故答案为：
；
如图，
中，∵
，
，
∴
，
，
把
绕点
逆时针旋转
度得到
，连接
，
当
、
、
、
在同一直线上时，
的值
为最小，
由旋转得：
，
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
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【标注】
由勾股定理得：
，
∴
，
则点
到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为
．
【知识点】利用三边关系解决的最短问题
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，点
是正方形
内一点，并延长
与
相交于点
．
若
，
，
．求
的大小．
若
的最小值为
，请直接写出正方形
的边长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
如图，作
，且
，连
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
．
正方形
的边长为，
提示：将
绕点
逆时针旋转
，得
，
∴
，
∴
，
设正方形的边长为
，
作
，
，
，
，
∴
，
10
【标注】
∴
．
【知识点】勾股逆定理的应用
