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1
相似动点问题 题集【C】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
．动点
从点
出发，在
边上以
每秒
的速度向定点
运动，同时动点
从点
出发，在
边上以每秒
的速度向点
运动，
运动时间为秒（
），连接
．
若
与
相似，求的值．
连接
，
，若
，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
的值为
或
．
．
由题意知，
，
，
∴
，
．
当
时，有
，
∴
，解得
．
当
时，有
，
∴
，解得
．
∴
时，的值为
或
．
如图，过点
作
于点
，
2
【标注】
由题意有
，
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，解得
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
备用图
2. 如图，点
为矩形
的对称中心，
，
，点
、
、
分别从
、
、
三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，当点
到达点
（即点
与点
重合）时，三个点随之停止运
动．在运动过程中，
关于直线
的对称图形是
．设点
、
、
运动的时间为（单
位：）．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
当
时，四边形
为正方形．
若以点
、
、
为顶点的三角形与以点
，
，
为顶点的三角形相似，求的值．
是否存在实数，使得点
与点
重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或
不存在实数，使得点
与点
重合．
若四边形
为正方形，则
，
，
，
即：
，
解得
．
分两种情况，讨论如下：
①若
，
则有
，即
，
解得：
；
②若
，
则有
，即
，
解得：
（不合题意，舍去）或
．
∴当
或
时，以点
、
、
为顶点的三角形与以点
，
，
为
顶点的三角形相似．
假设存在实数，使得点
与点
重合．
如图，过点
作
于点
，
则在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即：
．
解得：
．
过点
作
于点
，
则在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即：
．
4
【标注】
解得：
．
∵
，
∴不存在实数，使得点
与点
重合．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
已知
，
、
分别为直线
、
上的点，若
．
若
、
都在边
、
上，且
，求证：
．
若点
在边
上，点
边
延长线上，且
，求
与
的面积
比．
若
，
，且以点
、
、
为顶点的三角形与
相似，请直接写出满足条
件的
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
的值分别为，
，
，
．
如图
∵
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
如图，分别过
，
作
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
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（3 ）
【标注】
如图，
的值分别为，
，
，
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，点
、
分别在轴、轴上，四边形
为矩形，
，
，点
与点
关于轴对称，点
，
分别是线段
，
上的动点（点
不与点
，
重
合），且
．
求证：
．
设
，
，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围．
当
的长为多少时，
长最小，最小值为多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
，
．
一线三等角模型．
．
，
．
【知识点】一线三等角相似
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
是
上一动点（不
与
、
重合），
，
交
于点
．
与
是否相似？请说明理由．
设
，
，求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
请你探索在点
运动的过程中，四边形
能否构成矩形？如果能，求出
的长；如果
不能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
与
相似
（
）
或
与
相似，理由为：
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，即
，
整理得：
（
）．
存在，若四边形
为矩形，则有
，
即
，
解得：
或
．
则
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
6. 如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，
点以
/秒的速度在线段
上由
向
匀速运动，
点同时以
/秒的速度在线段
上由
向
匀速运动，设运动时间为秒（
）．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
求
的长．
设四边形
的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
，当
时，的最小值为
．
∵
，
∴
．
又
，
，
∴
，
∴
．
，
．
∵
，
∴
，即
．
解得：
．
过点
作
的垂线，垂足为
，
∵
，
公共角，
∴
．
∴
，即
．
故
．
．
故当
时，的最小值为
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
7. 在矩形
中，
，
，动点
从点
出发，以每秒个单位的速度，沿
向点
移
动；同时点
从点
出发，仍以每秒个单位的速度，沿
向点
移动，连接
，
，
．若
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
两个点同时运动的时间为秒（
），解答下列问题：
设
的面积为，用含的函数关系式表示；当为何值时，有最大值？并求出最小
值．
是否存在的值，使得
？试说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
不存在最大值，当
时，有最小值，最小值为．
当
时，
．
∵四边形
为矩形，
∴
，
，
当运动秒时，则
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
又
，
∴
．
即
，
∴为开口向上的二次函数，且对称轴为
，
∴当
时，随的增大而减小，当
时，随的增大而增大，
又当
时，
，当
时，
，但的范围内取不到
，
∴不存在最大值，当
时，有最小值，最小值为．
存在，理由如下：
由（）可知
，
，
，
当
时，则
，
矩形
矩形
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【标注】
∴
，且
，
∴
，
∴
，即
，
解得
（舍去）或
，
∴当
时，
．
【知识点】二次函数与动点问题
