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1
【旋转最值】题集 【A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，
，
为
的中点，
为
边上
一动点，将
绕点
逆时针旋转角（
）得到
，点
的对应点为
，
连
，在旋转过程中，线段
的长度的最小值是（ ）．
【答案】B
连接
，
，
，
欲求
的最小值，只需求
最小．
为
边上一动点，将
绕点
逆时针旋转一周，
则点
的对应点
的轨迹是以
为圆心，
为半径圆．
且仅当
时，
最小，即
最小．
在
中，
，
，
，
∴
．
∴当且仅当
、
、
三点共线时，
取的最小值，最小值为
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
2. 如图，正方形
和正方形
边长分别为、，正方形
绕点
旋转，直线
、
相交于点
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
在正方形
绕点
旋转过程中，探究
与
的数量关系和位置关系．
在旋转的过程中，当
时，试求
的长．
连接
，在正方形
绕点
旋转过程中，求
的最大值和最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
最大值是
，最小值是
．
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
过点
作
，垂足为
，
∵
，
3
（3 ）
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
解得：
，
∵
，
∴
．
由（）可知，在旋转过程中，
一直保持为直角，
故点
在以
为直径的圆上，
因为
，
∴点
，
也在以
为直径的圆上，
∴点
、
、
、
、
在以
为直径的同一个圆上，
在正方形
中，
，
∴
也是这个圆的直径，
∴当
与点
重合时，
最大值为
．
∵点
、
、
、
、
五点共圆，
当
最小时，
最小，
即
最大时，
最小，
∴当直线
与圆
相切时，
此时点
和点
重合，
、
、
三点共线，
在
中，
，
，
∴
，
，
∴
，
过点
作
，垂足为
，
则有
，
∴
，
，
，
4
【标注】
∴此时
．
综上，
的最大值是
，最小值是
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
1
2
（2 ）
3. 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，点
，正方形
的两条对角线的交点为
，延长
至点
，使
，延长
至点
，使
，以
，
为邻边做正方形
．
如图①，求
的长及
的值．
如图②，正方形
固定，将正方形
绕点
逆时针旋转，得正方形
，记
旋转角为
，连接
．
在旋转过程中，当
时，求的大小．
在旋转过程中，求
的长取最大值时，点
的坐标及此时的大小（直接写出结果即
可）．
5
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
或
．
，
．
如图中，
图
∵
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
如图中，
图
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
6
2
【标注】
∴
．
∴旋转角
．
根据对称性可知，
当
时，
，也满足条件，
此时旋转角
，
综上所述，旋转角
或
时，
．
如图中，连接
，
图
∵四边形
是正方形的边长为
，
∴
．
∴当
时，
、
、
在一条直线上时，
的长最大，最大值为
．
此时
，
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
（1 ）
1
（2 ）
4. 如图，已知
是等腰直角三角形，
，点
是
的中点．作正方形
，使
点
、
分别在
和
上，连接
，
．
图
试猜想线段
和
的数量关系是 ．
将正方形
绕点
逆时针方向旋转
．
判断（）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论．
7
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
图
若
，当
取最大值时，求
的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
成立，证明见解析．
．
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
又点
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
成立．以下给出证明：
如图，连接
，
图
∵在
中，
为斜边
中点，
∴
，
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，且
，
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2
【标注】
∴
，
∴
．
在
和
中，
∴
≌
，
∴
．
由①可得
，当
取得最大值时，
取得最大值．
当旋转角为
时，
，最大值为
．
如图，此时
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图①，点
为正方形
的中心．
A
B
C
D
E
O
图
将线段
绕点
逆时针方向旋转
，点
的对应点为点
，连接
，
，
，请依题意
补全图①（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
根据图中补全的图形，猜想并证明
与
的关系．
如图②，点
是
中点，
是等腰直角三角形，
是
的中点，
，
，
，
绕
点逆时针方向旋转，请直接写出旋转过程中
的最大值．
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A
B
C
D
E
O
F
（1 ）
（2 ）
【解析】
A
B
C
D
E
O
G
F
H
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
，
．
证明见解析．
．
如图：
，
．
如图，延长
交
于点
，交
于点
，
A
B
C
D
E
O
F
G
H
∵
为正方形
的中心，
∴
，
，
∵
绕点
逆时针旋转
角得到
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
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（3 ）
【标注】
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
如图，当
，
，
三点在一条直线上时，
的值最大，
A
B
C
D
E
O
G
F
H
∵四边形
是正方形，
，
∴
．
∵点
是
中点，
∴
，
∵
，
∵
是等腰直角三角形，
是
的中点，
∵
，∴
，
∴
，
∴
．
当
在
的延长线上时，
最大，
此时，
，
∴
的最大值是
．
【知识点】旋转性质综合应用
6. 如图，在
中，
，
，
，
的中点为
，将
绕点
顺时针旋转任意一个角度得到
，
的中点为
，连接
．在旋转过程中，
的最小值
是（ ）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
∵
，
，
∴
，
，
∵
的中点为
，
∴
，
连接
，
∵
绕点
顺时针旋转任意一个角度得到
，
的中点为
，
∴
，
由三角形的三边关系得
，
∴
、
、
三点共线时有最小值，
此时
．
故选．
【知识点】与三边关系有关的证明
（1 ）
7. 在
中，
，
，
，将
绕点
按逆时针方向旋转，得到
．
如图，当点
在线段
的延长线上时，求
的度数．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，连接
，
．若
的面积为，求
的面积．
图
如图，点
为线段
中点，点
是线段
上的动点，在
绕点
按逆时针方向旋转的
过程中，点
的对应点是点
，直接写出线段
长度的最大值与最小值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
线段
长度的最大值为，
长度的最小值．
如图，
13
（2 ）
方法一：
（3 ）
图
依题意得：
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
由（）知：
≌
．
∴
，
，
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
依题可知，在
绕点
按逆时针方向旋转的过程中，点
的轨迹是以
为圆
心，
长为半径的圆，
，
∴
，
当且仅当
时，
有最小值，
；
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方法二：
【标注】
当点
与点
重合时，
有最大值，
．
∴
，
∴
．
线段
长度的最大值为，
长度的最小值．
解题过程如下：①如图，过点
作
，
为垂足，
∵
为锐角三角形，
∴点
在线段
上，
在
中，
，
当
在
上运动，
与
垂直的时候，
绕点
旋转，使点
的对应点
在线段
上时，
最小，最小值为：
；
②当
在
上运动至点
，
绕点
旋转，使点
的对应点
在线段
的延长线上
时，
最大，最大值为：
．
图
图
综上所述，线段
长度的最大值为，
长度的最小值．
【知识点】旋转性质综合应用
