文档文本内容
1
【旋转相似】题集 【B】
1.
【解析】
【标注】
在
中，
，
，若点
为
的中点，
为边
上一点，且
，将
绕点
顺时针方向旋转角(
)，角的两边分别与边
、
相交于
、
两点，则
．
【答案】
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
由
旋转可得，
∴
，
∴
，
如图，作
于点
，作
于点
，
则
、
分别为
与
的高，
∴
，
∵
为
的中点，
，
，
∴
为
的中位线，
∴
，同理可得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
．
故答案为：
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2
图
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，将三角板放在正方形
上，使三角板的直角顶点
与正方形
的顶点
重合．三
角板的一边交
于点
，另一边交
的延长线于点
．
求证：
．
如图，移动三角板，使顶点
始终在正方形
的对角线
上，其他条件不变，（）
中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
如图，将（）中的“正方形
”改为“矩形
”，且使三角板的一边经过点
，
其他条件不变，若
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
成立，证明见解析．
．
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
成立．
如图，过点
作
于
，过点
作
于
，
∵四边形
为正方形，
∴
平分
，
又∵
，
，
∴
，
∴四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
如图，过点
作
于
，过点
作
于
，垂足分别为
、
，
则
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
即
，
∵
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
4
图
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
3. 完成下面问题：
探究活动一：
如图，正方形
和正方形
，
，
是正方形
的对称中心，
交
于
，
交
于
，线段
与线段
的数量关系是 ．（不必证明，
直接给出结论即可）
探究活动二：
如图，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且
，其他条件不变（矩形
和矩形
，
，
是矩形
的对称中心，
交
于
，
交
于
），探究并证明线段
与线段
的数量关系．
探究活动三：
根据前面的探索和图，平行四边形
和平行四边形
中，若
，
，
是平行四边形
的对称中心，
交
于
，
交
于
，请探究
并证明线段
与线段
的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
5
（1 ）
（2 ）
【解析】
（3 ）
．
．
理由：如图，过点
作
于
，
于
，连接
，
图
则
，
∵
是正方形
的对称中心，
∴
平分
，
∴
．
在正方形
中，
，而
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
故答案为
．
．
理由：如图，过点
作
于
，
于
，
图
则
，
在矩形
中，
，
∴在四边形
中，
．
又∵
，
6
（3 ）
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
又∵
是矩形
的对称中心，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
，
理由：如图，过点
作
于
，
于
，
图
则
，
在平行四边形
中，
，而
，
∴
．
又∵在四边形
中，
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
连接
、
，
图
∴
为
中点，
∴
，
∴
，
7
【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
小明对直角三角形很感兴趣．在
中，
，
是
上任意一点，连接
，作
，
，
与
交于点
．请你跟着他一起解决下列问题：
如图，若
是等腰直角三角形，则
，
有什么数量关系？请给出证明．
图
如果换一个直角三角形，如图，
，则
，
又有什么数量关系？请给出证
明．
图
由（）、（）这两种特殊情况，小明提出问题：如果直角三角形
中，
，
那
，
有什么数量关系？请给出证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
，证明见解析．
，证明见解析．
．
过点
作
于点
，
于点
，由
，
可知四边形
为矩形，
8
（2 ）
（3 ）
【标注】
所以
，
而
，
所以
，即
．
又因为
，
所以
，
即
，
所以
，
，
即
．
．
同（），由
，
可证
，
，
所以
．
．
同（）（），由
，
可证
，
，
所以
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
5.
中，
，
，点
是
的中点，把一个三角板的直角顶点放在点
处，将三角板绕点
旋转且使两条直角边分别交
、
于
、
．
如图，观察旋转过程，猜想线段
与
的数量关系并证明你的结论．
9
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，若连接
，试探索线段
、
、
之间的数量关系，直接写出你的结论（不需
证明）．
图
如图，若将“
，点
是
的中点”改为：“
，
于点
”，其
余条件不变，探索（）中结论是否成立？若不成立，请探索关于
、
的比值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．证明见解析．
．
不成立．
．
结论：
．
证明：连接
，
∵
，
，点
是
的中点，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
根据（）可得
，
10
（3 ）
【标注】
所以
，
即
，
∵
，
∴
．
∴
．
（）中的结论
不成立．
∵
，
于点
，
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
∴
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四
边形为等平方和四边形．
写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ．
如图，在梯形
中，
，
，垂足为
．求证：
，即四边形
是等平方和四边形．
图
如果将图（）中的
绕点
按逆时针方向旋转度（
）后得到图，那么
四边形
能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
图
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
菱形或正方形
证明见解析．
四边形
是等平方和四边形，证明见解析．
菱形或正方形．
∵
，
∴
，
，
，
．
∴
，即四边形
是等平方和四边形．
四边形
是等平方和四边形．
解法一：原梯形记为
，依题意旋转后得四边形
，
连结
、
交于点
，
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
又∵
，
∴
∴
．
又∵
，
∴
．
由（）的结论得：
．
即四边形
是等平方和四边形．
12
【标注】
解法二：连结
、
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵四边形
对角线互相垂直，
∴
，
∴四边形
是等平方和四边形．
【知识点】与四边形有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 以平面上一点
为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作
和
，其中
．
点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
、
．
如图，当点
、
分别在
、
的延长线上时，
= ．
如图，将图中的
绕点
沿顺时针方向旋转角
，其他条件不变，判断
的值是否发生变化，并对你的结论进行证明．
如图，若
，点
在线段
上，且
．点
是线段
上的一个动点，在将
绕点
旋转的过程中，线段
长度的最小值为 ，最大值为 ．
备用图
【答案】（1 ）
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
的值不变．
;
如图，连接
，
∵点
，
，
分别是
，
，
的中点，
∴
，
，分别是
和
的中位线，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
．
结论：
的值不变．
证明：连接
、
、
，
∵
中，
，
，
∴
．
∵
中，
，
，
∴
．
∴
．
又∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∵点
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
且
，
．
14
（3 ）
∴
∵
，
．
又∵
，
∴
，即
．
∴
．
∵在
中，
，
，
∴
．
∴
．
如图，过
作
于
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴当点
在点
处时，点
到
的距离为
，
这时当旋转到
与
重合时，
取最小值为
．
如图，当点
在
处时，且当旋转到
在
的延长线时，
取最大值
，
15
【标注】
∴线段
长度的最小值为
，最大值为
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 如图，四边形
是矩形，将一块正方形纸板
如图摆放，它的顶点
与矩形
的对
角线交点重合，点
在正方形的边
上，现将正方形绕点
逆时针旋转，当点
在
边上时，停
止旋转，在旋转过程中
交
于点
，
交
于点
．
开始旋转前，即在图中，连结
．
图
求证：
．
若图中，
，
，请求出线段
的长度．
在图（点
在
上）中，
，
，
这三条线段之间有什么数量关系？写出结论，并
说明理由．
图
试探究图中
，
，
，
这四条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理
由．
图
16
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
．
在矩形
中，
，在正方形
中，
，
∴
，
又∵
，
∴
≌
，
∴
．
由①知
，在
中，
．
．
理由：连结
，同（1）中的方法，得
，
在
中，
，
∴
．
理由：延长
交
于点
，连结
，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，又
，
∴
，
在
和
中，
，
即
．
【知识点】勾股定理的综合应用
一、课堂目标
熟识手拉手旋转相似，对角互补相似模型，掌握辅助线添加办法。
二、知识讲解
1. 手拉手模型----旋转相似
17
【已知】
,将
绕点A旋转
【结论】
，
，
你能证明结论吗？
例题1
图
（1 ）
（2 ）
1. 如图，在
中，
，
，点
，
分别是边
，
的中点，连接
．将
绕点
按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
①当
时，
；
②当
时，
．
拓展探究
试判断：当
时，
的大小有无变化？请仅就图的情况给出证明．
18
图
备用图
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
问题解决
当
旋转至
、
、
三点共线时，直接写出线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
无变化，证明见解析．
或
．
①当
时，
∵
中，
，
∴
．
∵点
、
分别为边
、
的中点，
∴
，
，
∴
．
故答案为
．
②如图，
当
时，可得
．
∴
，
∴
．
故答案为
．
无变化．
在题图中，∵
是
的中位线，
19
方法一：
方法二：
（3 ）
∴
，
∴
，
．
如题图，∵
在旋转过程中形状大小不变，
∴
仍然成立．
又∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
．
∴
，
∴
．
∴
的大小不变．
当
在
上方，且
，
，
三点共线时，四边形
为矩形，连接
，
∴
；
当
在
下方，且
，
，
三点共线时，连接
，
为直角三角形，
由勾股定理可求得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
①如图，连接
，
20
【标注】
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
．
②如图，连接
，过点
作
的垂线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
综上所述，
的长为
或
．
【知识点】旋转类相似
1
（1 ）
2. 如图，以平面上一点
为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作
和
，其中
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
、
．
回答下列问题
21
2
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
如图，当点
、
分别在
、
的延长线上，直接写出
和
的数量关系和位
置关系．
如图，将图中的
绕点
沿顺时针方向旋转角（
）其它条件不
变，判断①中的结论是否仍然成立，说明理由．
如图，
，
，连接
，点
是线段
的中点，连接
，在将
绕
点
旋转的过程中，线段
的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
，
．
①中的结论仍难成立，证明见解析．
;
，
．
结论仍然成立．
证明：连接
，
，
交
于点
，
、
交于点
，
∵在
和
中，
，
∴
，
22
（2 ）
【标注】
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
分别为
，
，
的中点，
∴
，且
，
且
，
∵
且
，
∵
且
，
即
，且
．
由（）可知，
为
，且
，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
最大是，
最大，
最小是，
最小，
∵
，
，
∴
的最大值为
，
的最小值为
．
【知识点】旋转性质综合应用
练习1
如图，正方形
的顶点
、
在正方形
的边上．
23
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
图
将图中的正方形
绕点
旋转一定角度，如图，直接写出线段
与
的关系．
图
把图中的正方形都换成矩形，且
，如图，探究线段
与
的关系，并加以证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
．
，
．
证明：如图，延长
交
于点
，交
于点
．
图
∵
为正方形，
∴
，
，
24
（2 ）
【标注】
∵
为正方形，
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
，
在
和
中，
，
，
∴
．
∴
，
．
，
．
证明：如图，延长
交
延长线于点
，交
于点
．
∵
和
为矩形，
∴
． 即
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
，
在
和
中，
，
，
∴
．
∴
，
．
【知识点】正方形等其他图形的手拉手模型
2. 对角互补模型----旋转相似
【已知】
25
【结论】
你能证明结论吗？
【已知】在
，
是其中任意一点，满足
，过
向两边做垂线，垂足分
别为
、
，如下图：
【结论】
（）
；
（）
．
例题2
D
A
B
C
M
Q
P
N
F
E
图
如图，正方形
和正方形
，
，
是正方形
的对称中心，
交
于
，
交
于
．
26
（1 ）
D
A
B
C
M
Q
P
N
E
F
图
（2 ）
B
A
D
C
Q
P
N
M
E
F
图
（3 ）
B
A
D
C
Q
P
N
M
E
F
图
（4 ）
（1 ）
【解析】
求证：
．
如图，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段
与线段
的
关系，并加以证明．
如图，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且
，其他条件不变，探索线段
与线段
的关系，并说明理由．
根据前面的探索和图，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；
若不能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
证明见解析．
．
．
．
过点
作
于
，
于
，连接
，
是正方形
的对称中心，
是正方形
对角线的交点，
27
D
A
B
C
M
Q
P
N
F
E
G
H
图
（2 ）
平分
，
，
在正方形
中，
，
，
，
在正方形
，
，
．
，
．
≌
，
．
过点
作
于
，
于
，连接
，
是菱形
的对称中心，
是菱形
对角线的交点，
平分
，
，
，
，
，
，
又
，
在四边形
中，
，
．
，
，
≌
，
．
28
D
A
B
C
M
Q
P
N
E
F
G
H
图
B
A
D
C
Q
P
N
M
E
FH
G
图
（3 ）
（4 ）
【标注】
过点
作
于
，
于
，
在矩形
中，
，
，
又
，在四边形
中，
，
，
，
，
，
，
又
是矩形
的对称中心，
是矩形
对角线的中点，
，
．同理可得
，
，
．
平行四边形
和平行四边形
中，
，
，
是平行四边
形
的对称中心，
交
于
，
交
于
．则
．
【知识点】构造旋转全等
29
练习2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，点
为
边的中点，以点
为顶点的
的两边分别与边
，
交于点
，
，且
与
互补．
如图，若
，且
，则线段
与
有何数量关系？请直接写出结论．
如图，若
，那么（）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
如图，若
，探索线段
与
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
成立，证明见解析．
，证明见解析．
结论：
．
依然成立．
过点
作
于
，作
于
，连接
，
则
．
∵
，点
为
中点，
30
（3 ）
∴
平分
．
∴
．
∵在四边形
中，
．
∴
，
又∵
与
互补，
∴
，
∴
，
∴
≌
（
）．
∴
．
结论
．
过点
作
于
，作
于
，连接
，
同（）可证
，
又∵
，
∴
．
∴
．
∵点
为
的中点，
∴
．
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
∴
．
31
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
三、出门测
（1 ）
（2 ）
（3 ）
如图，已知四边形
为正方形，直角
的顶点在正方形对角线
上，直角边分别交
、
于
、
两点．
如图①，当点
在
的中点时，
．
如图②，当
时，
，并证明你的结论．
如图③，当
时，
，并证明你的结论．
32
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
连
，可证明
≌
．
过
作
于
，
于
，
则
，
（
）．
【知识点】相似与角平分线
