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1
【旋转最值】题集 【B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
在锐角
中，
，
，
，将
绕点
按逆时针方向旋转，得到
．
如图，当点
在线段
的延长线上时，求
的度数．
图
如图，连接
，
．若
的面积为，求
的面积．
图
如图，点
为线段
中点，点
是线段
上的动点，在
绕点
按逆时针方向旋转过
程中，点
的对应点是点
，求出线段
长度的取值范围长度．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵由旋转的性质可得：
，
，
∴
．
∴
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵由旋转的性质可得：
≌
，
∴
，
，
．
∴
，
．
∴
．
∴
∽
．
∴
．
∵
，∴
．
过点
作
，
为垂足，
∵
为锐角三角形，∴点
在线段
上．
在
中，
．
①如图，当
在
上运动至垂足点
，
绕点
旋转，使点
的对应点
在线段
上时，
最小．最小值为：
．
图
图
②如图，当
在
上运动至点
，
绕点
旋转，使点
的对应点
在线段
的
延长线上时，
最大．
最大值为：
．
所以
．
【知识点】旋转性质综合应用
2. 如图，四边形
是正方形，点
是
边的中点，以
为边作正方形
，连接
，
．
3
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1
2
（1 ）
【解析】
A
D
C
B
E
F
G
图
A
D
C
B
F
E'
G
图
D
C
B
A
G
F
E
P
图
发现
直线
，
之间的位置关系是 ．
线段
，
之间的数量关系是 ．
探究
如图，将正方形
绕点
逆时针旋转，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由．
应用
如图，将正方形
绕点
逆时针旋转一周，记直线
与
的交点为
，若
，
请直接写出点
到
所在直线距离的最大值和最小值．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
仍成立，理由见解析．
最大值
最小值
．
线段
、
之间的位置关系是：
，
A
D
C
B
E
F
G
Q
图
如图，延长
交
于
，
由
≌
得：
，
，
，
，
，
．
线段
、
之间的数量关系是：
，
4
（2 ）
（3 ）
A
D
C
B
E
F
G
图
如图，四边形
是正方形，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
≌
，
．
（I）中的结论仍然成立，理由是：
①如图，四边形
和四边形
是正方形，
A
D
C
B
F
E'
G
图
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
．
②
≌
，
，
，
，
，
，
．
将正方形
绕点
逆时针旋转一周，即点
和
在以
为圆心，以为半径的圆上，
过
作
于
，
5
【标注】
①当
与
重合时，此时
最小，如图，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②
∵
，
，
∴以
为直径的圆，、
在圆上，
当在
的中点时，如图，此时
的值最大，
图
∵
，
有勾股定理得：
，
则半径
∴
．
综上所述，点
到
所在直线距离的最大值是
，最小值是
．
【知识点】圆与勾股
3. 如图，点
是平行四边形
对角线
上的动点，点
为
的中点，已知
，
，
，把平行四边形
绕着点
按逆时针方向旋转，点
的对应点是点
，则线段
的长度的最大值与最小值的差为 ．
6
【解析】
【标注】
【答案】
如图，作
垂足为
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
当
旋转到与射线
的重合时（点
与点
重合），
就是
最小值
，
当点
与
重合时，旋转到与
的延长线重合时（点
与点
重合），此时
就是
最大
值
，
∴
的最大值与最小值的差
．
【知识点】利用三边关系解决的最短问题
（1 ）
（2 ）
4. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图，在
（其中
是一个可以变化的角）中，
，
，以
为边在
的下方作等边
，求
的最大值．
图
图
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点
为旋转中心将
逆时针旋转
得到
，连接
，当点
落在
上时，此题可解（如图）．
请你回答：
的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
7
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
如图，等腰
边
，
为
内部一点，则
的最小值
是 ．（结果可以不化简）
图
【答案】（1 ）
（2 ）
如图，
∵
逆时针旋转
得到
，
∴
，
，
，
∴
，在
中，
，即
，
则当点
，
，
三点共线时，
，即
，即
的最大值是．
故答案是．
如图（见下页），
∵
是等腰三角形，
∴
．以
为中心，将
逆时针旋转
得到
．
则
，
，
．
∴
．
∵当
、
、
、
四点共线时，
最短，即线段
最短．
∴
，
∴
长度即为所求．
过
作
延长线于
．
∵
（由旋转可知）．
∴
．
∵
．
8
【标注】
∴
，
．
∴
．
在
中
．
∴
的最小值是
（或不化简为
）．
故答案是
（或不化简为
）．
【知识点】旋转的性质
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】勾股定理与实际问题
【能力】分析和解决问题能力
5.
【解析】
如图，已知等腰直角三角形
，
，
，
，求
的最大值和最小
值．
A
C
B
D
【答案】
；
．
作等腰
，如图，连接
，
A
C
B
D
P
∴
≌
（
），
∴
，
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【标注】
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
在
中，
，
当
、
、
共线时，
；
．
【知识点】构造旋转全等
6.
【解析】
如图，正方形
中，
，以
为圆心，
为半径画圆，点
是⊙
上一个动点，连
接
，并将
绕点
逆时针旋转
至
，连接
，在点
移动的过程中，
长度的取值范
围是
．
【答案】
如图，当
在对角线
上时，
最小；当
在对角线
的延长线上时，
最大．
连接
，
①当
在对角线
上时，
由旋转得：
，
，
∴
，
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，∵
，
由勾股定理得：
，
∴
，
即
长度的最小值为
．
②当
在对角线
的延长线上时，
同理可得
，
∴
，
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【标注】
即
长度的最大值为
．
∴
长度的取值范围是
故答案为：
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
图
（2 ）
7. 阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图，
中，
，
，
，在
内部
有一点
，连接
、
、
，求
的最小值．
图
图
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再
将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以
求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这
个问题．他的做法是，如图，将
绕点
顺时针旋转
，得到
，连接
、
，则
的长即为所求．
请你写出图中，
的最小值为 ．
参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图，菱形
中，
，在菱形
内部有一点
，请在图中画出并
指明长度等于
最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形
的边长为，请直接写出当
值最小时
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）①
，画图见解析．
②
．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图．∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
即
的最小值为
．
①如图，
；
②如图，当
、
、
、
四点共线时，
值最
小，最小值为
．
∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
．
∵菱形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∴
．
连接
，交
于点
，则
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
即当
值最小时
的长为
．
故答案为：
．
．
【知识点】菱形的性质
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【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 如图，在
中，
，
，以点
为圆心，以
为半径作圆．
设点
为⊙
上的一个动点，线段
绕着点
顺时针旋转
，得到线段
，连接
，
，
，如图．
求证：
．
在（）的条件下，若
，则
．
在（）的条件下，当
时，
有最大值，且最大值为 ；当
时，
有最小值，且最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
或
;
;
;
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
若
，则
或；
当
时，
有最大值，且最大值为
；
当
时，
有最小值，且最小值为
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
